Question

3．2016年春節(jié)期間全國流行在微信群里發(fā)、搶紅包，現(xiàn)假設某人將688元發(fā)成手氣紅包50個，產(chǎn)生的手氣紅包頻數(shù)分布表如表：

全額分組	[1，5）	[5，9）	[9，13）	[13，17）	[17，21）	[21，25]
頻數(shù)	3	9	17	11	8	2

（I）求產(chǎn)生的手氣紅包的金額不小于9元的頻率；
（Ⅱ）估計手氣紅包金額的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；
（Ⅲ）在這50個紅包組成的樣本中，將頻率視為概率．
（i）若紅包金額在區(qū)間[21，25]內(nèi)為最佳運氣手，求搶得紅包的某人恰好是最佳運氣手的概率；
（ii）隨機抽取手氣紅包金額在[1，5）∪[-21，25]內(nèi)的兩名幸運者，設其手氣金額分別為m，n，求事件“|m-n|＞16”的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意利用互斥事件概率加法公式能求出產(chǎn)生的手氣紅包的金額不小于9元的頻率．
（Ⅱ）先求出手氣紅包在[1，5）、[5，9）、[9，13）、[13，17）、[17，21）、[21，25]內(nèi)的頻率，由此能求了出手氣紅包金額的平均數(shù)．
（Ⅲ）（i）由題可知紅包金額在區(qū)間[21，25]內(nèi)有兩人，由此能求出搶得紅包的某人恰好是最佳運氣手的概率．
（ii）由頻率分布表可知，紅包金額在[1，5）內(nèi)有3人，在[21，25]內(nèi)有2人，由此能求出事件“|m-n|＞16“的概率P（|m-n|＞16）．

解答 解：（Ⅰ）由題意得產(chǎn)生的手氣紅包的金額不小于9元的頻率：
p=$\frac{17+11+8+2}{50}$=$\frac{19}{25}$，
∴產(chǎn)生的手氣紅包的金額不小于9元的頻率為$\frac{19}{25}$．
（Ⅱ）手氣紅包在[1，5）內(nèi)的頻率為$\frac{3}{50}$=0.06，
手氣紅包在[5，9）內(nèi)的頻率為$\frac{9}{50}$=0.18，
手氣紅包在[9，13）內(nèi)的頻率為$\frac{17}{50}$=0.34，
手氣紅包在[13，17）內(nèi)的頻率為$\frac{11}{50}$=0.22，
手氣紅包在[17，21）內(nèi)的頻率為$\frac{8}{50}$=0.16，
手氣紅包在[21，25]內(nèi)的頻率為$\frac{2}{50}$=0.04，
則手氣紅包金額的平均數(shù)為：
$\overline{x}$=3×0.06+7×0.18+11÷0.34+15×0.22+19×0.16+23×0.04=12.44．
（Ⅲ）（i）由題可知紅包金額在區(qū)間[21，25]內(nèi)有兩人，
∴搶得紅包的某人恰好是最佳運氣手的概率p=$\frac{2}{50}$=$\frac{1}{25}$．
（ii）由頻率分布表可知，紅包金額在[1，5）內(nèi)有3人，
設紅包金額分別為a，b，c，在[21，25]內(nèi)有2人，
設紅包金額分別為x，y，
若m，n均在[1，5）內(nèi)，有3種情況：（a，b），（a，c），（b，c），
若m，n均在[21，25]內(nèi)只有一種情況：（x，y），
若m，n分別在[1，5）和[21，25）內(nèi)，有6種情況，
即（a，x），（a，y），（b，x），（b，y），（c，x），（c，y），
∴基本事件總數(shù)n=10，
而事件“|m-n|＞16“所包含的基本事件有6種，
∴P（|m-n|＞16）=$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$．

點評 本題考查頻率的求法，考查概率的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意頻數(shù)分布表的性質(zhì)的合理運用．