Question

14．已知點(diǎn)N（x，y）為圓x²+y²=1上任意一點(diǎn)，則$\frac{y}{x+2}$的取值范圍（　　）

• A． [$-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$]
• B． [-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]
• C． （-∞，$-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$]∪[$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，+∞）
• D． （-∞，-$\sqrt{3}$]∪[$\sqrt{3}$，+∞）

Answer 1

分析 $\frac{y}{x+2}$表示圓上的點(diǎn)P（x，y）與點(diǎn)M（-2，0）連線(xiàn)的斜率，設(shè)為k，則過(guò)點(diǎn)M的圓的切線(xiàn)方程為y=k（x+2），由圓心到切線(xiàn)的距離等于半徑，求得k的值，可得$\frac{y}{x+2}$的取值范圍．

解答 解：$\frac{y}{x+2}$表示圓上的點(diǎn)P（x，y）與點(diǎn)M（-2，0）連線(xiàn)的斜率，
設(shè)為k，則過(guò)點(diǎn)M的圓的切線(xiàn)方程為y=k（x+2），
即 kx-y+2k=0，由圓心到切線(xiàn)的距離等于半徑，
可得$\frac{|2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，求得k=$±\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故$\frac{y}{x+2}$的取值范圍為[-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線(xiàn)的斜率公式，直線(xiàn)和圓相切的性質(zhì)，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．