12．已知sinθ+cosθ=2sinα，sinθcosθ=sin2β，求證：2cos2α=cos2β．

分析 由同角三角函數(shù)關系式得到4cos2α-2=1-2sin2β，由此利用二倍角公式能證明2cos2α=cos2β．

解答 證明：∵sinθ+cosθ=2sinα，sinθcosθ=sin2β，
∴sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ=1+2sin2β=4sin2α=4-4cos2α，
∴4cos2α-2=1-2sin2β，
∵2cos2α=2（2cos2α-1）=4cos2α-2，
cos2β=1-2sin2β，
∴2cos2α=cos2β．

點評 本題考查三角函數(shù)恒等式的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意同角三角函數(shù)關系式和二倍角公式的合理運用．

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