Question

9．在直角坐標系xOy中，以O(shè)為極點，x中正半軸為極軸建立坐標系，直線l的極坐標方程為$ρsin（θ+\frac{π}{4}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}+rcosθ\\ y=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}+rsinθ\end{array}\right.（θ$為參數(shù)，r＞0）
（1）求直線l的普通方程以及圓心C的坐標；
（2）當(dāng)r為何值時，圓C上的點到直線l的最大距離為3．

Answer 1

分析 （1）利用極坐標方程與直角坐標方程互化方法得到直線l的普通方程，利用圓的參數(shù)方程得當(dāng)圓心C的坐標；
（2）圓心（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）到直線的距離d=$\frac{|-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}-1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$，利用圓C上的點到直線l的最大距離為3，求r．

解答 解：（1）直線l的極坐標方程為$ρsin（θ+\frac{π}{4}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，可得ρ（cosθ+sinθ）=1，
∴x+y-1=0；
由$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}+rcosθ\\ y=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}+rsinθ\end{array}\right.（θ$為參數(shù)，r＞0），可得圓心（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），極坐標為（1，$\frac{5π}{4}$）；
（2）圓心（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）到直線的距離d=$\frac{|-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}-1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$，
∵圓C上的點到直線l的最大距離為3．
∴$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$+r=3，
∴r=2-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、極坐標方程化為直角坐標方程、點到直線的距離公式、勾股定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．