Question

6．已知f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-3
（1）對(duì)x∈（0，+∞），不等式2f（x）≥g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）證明：對(duì)一切x∈（0，+∞），都有$lnx＞\frac{1}{e^x}-\frac{2}{ex}$．

Answer 1

分析 （1）由已知得a≤2lnx+x+$\frac{3}{x}$，設(shè)h（x）=2lnx+x+$\frac{3}{x}$（x＞0），則h′（x）=$\frac{（x+3）（x-1）}{x2}$，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（2）問(wèn)題等價(jià)于證明xlnx＞$\frac{x}{ex}$-$\frac{2}{e}$（x∈（0，+∞）），設(shè)m（x）=$\frac{x}{ex}$-$\frac{2}{e}$（x∈（0，+∞）），則m′（x）=$\frac{1-x}{ex}$，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求證即可．

解答 解：（1）2xlnx≥-x²+ax-3，則a≤2lnx+x+$\frac{3}{x}$，
設(shè)h（x）=2lnx+x+$\frac{3}{x}$（x＞0），則h′（x）=$\frac{（x+3）（x-1）}{x2}$，
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，
∴[h（x）]_min=h（1）=4，
∵對(duì)一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，
∴a≤[h（x）]_min=4．
證明：（2）問(wèn)題等價(jià)于證明xlnx＞$\frac{x}{ex}$-$\frac{2}{e}$（x∈（0，+∞）），
由（1）可知f（x）=xlnx（x∈（0，+∞））的最小值是-$\frac{1}{e}$，當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{1}{e}$時(shí)取得．
設(shè)m（x）=$\frac{x}{ex}$-$\frac{2}{e}$（x∈（0，+∞）），則m′（x）=$\frac{1-x}{ex}$，
由題意得[m（x）]_max=m（1）=-$\frac{1}{e}$，
當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取到，從而對(duì)一切x∈（0，+∞），都有l(wèi)nx＞$\frac{1}{ex}$-$\frac{2}{ex}$成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查不等式的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)、構(gòu)造法的合理運(yùn)用．