Question

2．已知圓C₁：（x-4）²+（y-2）²=4和圓C₂：（x-1）²+（y-3）²=9．
（1）試判斷兩圓的位置關(guān)系；若相交，求出公共弦所在的直線方程；
（2）若直線l過點（1，0）且與圓C₁相切，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）將兩圓化成標準方程，可得它們的圓心坐標和半徑，計算出圓心距并比較其與|r₁-r₂|、r₁+r₂的大小關(guān)系，可得兩圓的位置關(guān)系是相交；將兩圓的一般式方程相減，消去平方項可得關(guān)于x、y的二次一次方程，即為兩圓公共弦所在直線方程；
（2）求出圓心到直線的距離等于半徑，可求解直線l的方程．

解答 解：（1）圓C₁：（x-4）²+（y-2）²=4
∴圓心C₁（4，2），半徑r₁=2，圓C₂：（x-1）²+（y-3）²=9的圓心C₂（1，3），半徑r₂=3
∵|r₁-r₂|=1，r₁+r₂=5，圓心距C₁C₂=$\sqrt{（{4-1）}^{2}+（2-3）^{2}}$=$\sqrt{10}$
∴|r₁-r₂|≤C₁C₂≤r₁+r₂，得兩圓的位置關(guān)系是相交；
圓C₁：（x-4）²+（y-2）²=4和圓C₂：（x-1）²+（y-3）²=9．
∴圓C₁和圓C₂的方程兩邊對應相減，化簡得6x-2y-15=0，
即為兩圓公共弦所在直線方程．
（2）設切線方程為y=k（x-1），即kx-y-k=0，
∵圓心（4，2）到切線l的距離等于半徑2，
∴$\frac{|4k-2-k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=2，解得k=$\frac{12}{5}$或k=0，
∴切線方程為y=$\frac{12}{5}$（x-1），即12x-5y-12=0，或y=0
所以，所求的直線l的方程是12x-5y-12=0，或y=0．

點評 本題給出兩圓的一般式方程，求兩圓的位置關(guān)系并求它們的公切線方程，著重考查了圓的標準方程和一般方程、直線與圓的位置關(guān)系等知識，屬于中檔題．