Question

9．已知函數(shù)$f（x）=lnx-\frac{a（x-1）}{x+1}，a∈R$．
（1）若a=2，求證：f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)；
（2）若不等式f（x）≥0的解集為[1，+∞），求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）a=2時，x＞0，求出f′（x）=$\frac{（x-1）^{2}}{x（x+1）^{2}}$≥0，由此能證明f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．
（Ⅱ）求出${f}^{'}（x）=\frac{{x}^{2}+2（1-a）x+1}{x（x+1）^{2}}$，x＞0，由此根據(jù)a≤1，1＜a≤2，a＞2分類討論，利用導數(shù)性質(zhì)能求出實數(shù)a的取值范圍．

解答 證明：（1）∵a=2時，f（x）=lnx-$\frac{2x-2}{x+1}$，
∴x＞0，${f}^{'}（x）=\frac{1}{x}-\frac{4}{（x+1）^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-2x+1}{x（x+1）^{2}}$=$\frac{（x-1）^{2}}{x（x+1）^{2}}$≥0，
當且僅當x=1時，f′（x）=0，
∴f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．
解：（Ⅱ）∵函數(shù)$f（x）=lnx-\frac{a（x-1）}{x+1}，a∈R$，
∴${f}^{'}（x）=\frac{{x}^{2}+2（1-a）x+1}{x（x+1）^{2}}$，x＞0，
注意到f（1）=0，
①當a≤1時，則f′（x）=$\frac{{x}^{2}+2（1-a）x+1}{x（x+1）^{2}}$＞0，∴f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，適合題意；
②當1＜a≤2時，則△=4（a²-2a）≤0，則$f'（x）=\frac{{{x^2}+2（1-a）x+1}}{{x{{（x+1）}^2}}}≥0$，
當且僅當a=2，x=1時，取等號，則f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，適合題意；
③當a＞2時，則△=4（a²-2a）＞0，
則f′（x）=$\frac{{x}^{2}+2（1-a）x+1}{x（x+1）^{2}}$=0有兩個實根${x}_{1}=a-1-\sqrt{{a}^{2}-2a}$，${x}_{2}=a-1+\sqrt{{a}^{2}-2a}$，
且0＜x₁＜a-1＜x₂，（a-1＞1），
則f（x）在（0，x₁]，[x₂，+∞）上為增函數(shù)，在（x₁，x₂）上是減函數(shù)，
1∈（x₁，x₂），f（1）=0，不適合題意．
綜上：實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-2]．

點評 本題考查函數(shù)為增函數(shù)的證明，考查實數(shù)的取值范圍的求法，考查導數(shù)的應用，考查推理論證能力、運算求解能力，考查轉(zhuǎn)化化歸思想、分類討論思想，是中檔題．