Question

15．設(shè)數(shù)列{a_n}的前項和為S_n，若$\frac{{S}_{n}}{{S}_{2n}}$為常數(shù)，則稱數(shù)列{a_n}為“精致數(shù)列”．已知等差數(shù)列{b_n}的首項為1，公差不為0，若數(shù)列{b_n}為“精致數(shù)列”，則數(shù)列{b_n}的通項公式為${b_n}=2n-1，（n∈{N^*}）$．

Answer 1

分析 由題意設(shè)數(shù)列{b_n}的公差為d（d≠0），$\frac{{S}_{n}}{{S}_{2n}}$=k，代入等差數(shù)列的前n項和與前2n項和，整理后得（4k-1）dn+（2k-1）（2-d）=0，由該式對任意n∈N^*都成立，得
$\left\{\begin{array}{l}{d（4k-1）=0}\\{（2k-1）（2-d）=0}\end{array}\right.$，求解方程組得到公差d，則數(shù)列{b_n}的通項公式可求．

解答 解：設(shè)數(shù)列{b_n}的公差為d（d≠0），$\frac{{S}_{n}}{{S}_{2n}}$=k，
∵b₁=1，
∴$n+\frac{1}{2}n（n-1）d=k[2n+\frac{1}{2}2n（2n-1）d]$，
即2+（n-1）d=4k+2k（2n-1）d，
整理得：（4k-1）dn+（2k-1）（2-d）=0，
∵上式對任意n∈N^*都成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{d（4k-1）=0}\\{（2k-1）（2-d）=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{d=2}\\{k=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$．
∴${b_n}=2n-1，（n∈{N^*}）$．
故答案為：${b_n}=2n-1，（n∈{N^*}）$．

點評 本題是新定義題，考查了等差數(shù)列的前n項和，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，是中檔題．