Question

6．已知數(shù)列{a_n}和{b_n}滿足a₁=1，b₁=2，a_n+1b_n=a_nb_n+2a_n+4
（Ⅰ）若b_n=2a_n，求證：當(dāng)n≥2時，$n+2≤{a_n}≤\frac{3}{2}n+1$；
（Ⅱ）若${b_{n+1}}=\frac{{{a_n}{b_n}+2{b_n}+4}}{a_n}$，證明a_n＜10．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過將b_n=2a_n代入a_n+1b_n=a_nb_n+2a_n+4化簡可知數(shù)列{a_n}遞增，當(dāng)n≥2時放縮可知$1＜{a_{n+1}}-{a_n}≤\frac{3}{2}$，利用a_n=a₂+（a₃-a₂）+（a₄-a₃）+…+（a_n-a_n-1）計算即得結(jié)論；
（Ⅱ）通過對a_n+1b_n=a_nb_n+2a_n+4、${b_{n+1}}=\frac{{{a_n}{b_n}+2{b_n}+4}}{a_n}$變形、進(jìn)而作差，化簡即得結(jié)論．

解答 證明：（Ⅰ）將b_n=2a_n代入a_n+1b_n=a_nb_n+2a_n+4，
可得：${a_{n+1}}={a_n}+\frac{2}{a_n}+1$，
由a₁=1知a_n＞0，
∴${a_{n+1}}-{a_n}=\frac{2}{a_n}+1＞1$，即數(shù)列{a_n}遞增，
故當(dāng)n≥2時，$1＜{a_{n+1}}-{a_n}≤\frac{2}{a_n}+1≤\frac{2}{a_2}+1$，即$1＜{a_{n+1}}-{a_n}≤\frac{3}{2}$，
又a_n=a₂+（a₃-a₂）+（a₄-a₃）+…+（a_n-a_n-1），
所以${a_2}+（n-2）≤{a_n}≤{a_2}+\frac{3}{2}（n-2）$，
即$n+2≤{a_n}≤\frac{3}{2}n+1$；
（Ⅱ）由a₁＞0，b₁＞0以及遞推式知a_n＞0，b_n＞0，
又∵$\left\{\begin{array}{l}{a_{n+1}}+2=\frac{{（{a_n}+2）（{b_n}+2）}}{b_n}\\{b_{n+1}}+2=\frac{{（{a_n}+2）（{b_n}+2）}}{a_n}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{{{a_{n+1}}+2}}=\frac{b_n}{{（{a_n}+2）（{b_n}+2）}}\\ \frac{1}{{{b_{n+1}}+2}}=\frac{a_n}{{（{a_n}+2）（{b_n}+2）}}\end{array}\right.$，
從而有$\frac{1}{{{a_{n+1}}+2}}-\frac{1}{{{b_{n+1}}+2}}=\frac{b_n}{{（{a_n}+2）（{b_n}+2）}}-\frac{a_n}{{（{a_n}+2）（{b_n}+2）}}=\frac{{（{b_n}+2）-（{a_n}+2）}}{{（{a_n}+2）（{b_n}+2）}}$
=$\frac{1}{{{a_n}+2}}-\frac{1}{{{b_n}+2}}=…=\frac{1}{{{a_1}+2}}-\frac{1}{{{b_1}+2}}=\frac{1}{12}$，
所以$\frac{1}{{{a_n}+2}}＞\frac{1}{12}$，因此a_n＜10．

點評 本題是一道關(guān)于數(shù)列遞推式的不等式，考查運算求解能力，對表達(dá)式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于難題．