Question

16．已知正項數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且2S_n=（a_n-1）（a_n+2），
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式
（2）設數(shù)列{$\frac{（n-1）•{2}^{n}}{n{a}_{n}}$}的前n項和為T_n，試比較T_n與$\frac{{2}^{n+1}（18-n）-2n-2}{n+1}$的大小．

Answer 1

分析 （1）運用數(shù)列的遞推式：當n=1時，a₁=S₁，當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1．可得a_n=n+1；
（2）求得$\frac{（n-1）•{2}^{n}}{n{a}_{n}}$=$\frac{（n-1）•{2}^{n}}{n（n+1）}$=$\frac{{2}^{n+1}}{n+1}$-$\frac{{2}^{n}}{n}$，運用裂項相消求和可得T_n，再由作差法，討論n的范圍，即可得到大小關系．

解答 解：（1）當n=1時，2a₁=2S₁=（a₁-1）（a₁+2），
∵a₁＞0，∴a₁=2．
n=2時，2S₂=（a₂-1）（a₂+2）=2（2+a₂），
解得a₂=3．
當n≥2時，2a_n=2（S_n-S_n-1）=a_n²-a_n-1²+a_n-a_n-1，
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵a_n+a_n-1＞0，∴a_n-a_n-1=1，
∴數(shù)列{a_n}是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，
∴a_n=n+1；
（2）解：∵$\frac{（n-1）•{2}^{n}}{n{a}_{n}}$=$\frac{（n-1）•{2}^{n}}{n（n+1）}$=$\frac{{2}^{n+1}}{n+1}$-$\frac{{2}^{n}}{n}$，
∴T_n=$\frac{{2}^{2}}{2}$-$\frac{2}{1}$+$\frac{{2}^{3}}{3}$-$\frac{{2}^{2}}{2}$+…+$\frac{{2}^{n+1}}{n+1}$-$\frac{{2}^{n}}{n}$=$\frac{{2}^{n+1}}{n+1}$-2，
T_n-$\frac{{2}^{n+1}（18-n）-2n-2}{n+1}$=$\frac{{2}^{n+1}}{n+1}$-2-$\frac{{2}^{n+1}（18-n）-2n-2}{n+1}$
=$\frac{{2}^{n+1}（n-17）}{n+1}$，
當n＜17且n為正整數(shù)時，
$\frac{{2}^{n+1}（n-17）}{n+1}$＜0，∴T_n＜$\frac{{2}^{n+1}（18-n）-2n-2}{n+1}$；
當n=17時，
$\frac{{2}^{n+1}（n-17）}{n+1}$=0，∴T_n=$\frac{{2}^{n+1}（18-n）-2n-2}{n+1}$；
當n＞17且n為正整數(shù)時，
 $\frac{{2}^{n+1}（n-17）}{n+1}$＞0，∴T_n＞$\frac{{2}^{n+1}（18-n）-2n-2}{n+1}$．

點評 本題考查等差數(shù)列的定義的運用，考查數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，以及分類討論思想方法，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．