Question

1．已知等比數(shù)列{a_n}中a₁=1，a₄=8，在a_n與a_n+1兩項之間依次插入2^n-1個正整數(shù)，得到數(shù)列{b_n}，即：a₁，1，a₂，2，3，a₃，4，5，6，7，a₄，8，9，10，11，12，13，14，15，a₅，…則數(shù)列{b_n}的前2016項之和S₂₀₁₆=2013062（用數(shù)字作答）．

Answer 1

分析 在數(shù)列{b_n}中，到a_n項共有=n+（1+2+…+2^n-2）=n+$\frac{1×（{2}^{n-1}-1）}{2-1}$=2^n-1+n-1項，即為f（n）（n≥2）．則f（11）=2¹⁰+11-1=1034，f（12）=2¹¹+12-1=2059．即可得出．

解答 解：在數(shù)列{b_n}中，到a_n項共有n+（1+2+…+2^n-2）=n+$\frac{1×（{2}^{n-1}-1）}{2-1}$=2^n-1+n-1項，即為f（n）（n≥2）．
則f（11）=2¹⁰+11-1=1034，f（12）=2¹¹+12-1=2059．
設(shè)等比數(shù){a_n}的公比為q，由a₁=1，a₄=8，得1×q³=8，解得q=2，
因此S₂₀₁₆=a₁+a₂+…+a₁₀+a₁₁+1+2+3+…+2005=$\frac{1×（{2}^{11}-1）}{2-1}$+$\frac{2005×（1+2005）}{2}$=2013062．
故答案為：2013062．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其求和公式，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．