Question

3．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的長、短軸端點分別為A、B，從此橢圓上一點M向x軸作垂線，恰好通過橢圓的左焦點F₁，向量$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{OM}$是共線向量．
（1）求橢圓的離心率e；
（2）設Q是橢圓上任意一點，F₁、F₂分別是左、右焦點，求∠F₁QF₂的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）依題意，求得M坐標，由k_AB=k_OM，求得b=c，a=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$，由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）當點Q與橢圓長軸的端點重合時，∠F₁QF₂的大小為零；當點Q不與橢圓長軸的端點重合時，設∠F₁QF₂的大小為θ，在△F₁QF₂中，利用余弦定理，結合基本不等式和橢圓的定義，cos θ═$\frac{2^{2}}{{r}_{1}{r}_{2}}$-1≥$\frac{2^{2}}{（\frac{{r}_{1}+{r}_{2}}{2}）^{2}}$-1=0，得到θ∈[0，$\frac{π}{2}$]，即為∠F₁QF₂的取值范圍．

解答 解：（1）依題意，作圖如圖：
設F₁（-c，0），則x_M=-c，y_M=$\frac{^{2}}{a}$，
∴k_OM=-$\frac{^{2}}{ac}$，
∵k_AB=-$\frac{a}$，∵向量$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{OM}$共線，
∴-$\frac{^{2}}{ac}$=-$\frac{a}$，
∴b=c，
由a=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$=$\sqrt{2}$c，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）設|F₁Q|=r₁，|F₂Q|=r₂，∠F₁QF₂=θ，
∴r₁+r₂=2a，|F₁F₂|=2c．
由余弦定理可知：cos θ=$\frac{{r}_{1}^{2}+{r}_{2}^{2}-4{c}^{2}}{2{r}_{1}{r}_{2}}$=$\frac{（{r}_{1}+{r}_{2}）^{2}-2{r}_{1}{r}_{2}-4{c}^{2}}{2{r}_{1}{r}_{2}}$，
=$\frac{2^{2}}{{r}_{1}{r}_{2}}$-1≥$\frac{2^{2}}{（\frac{{r}_{1}+{r}_{2}}{2}）^{2}}$-1=$\frac{2^{2}}{{a}^{2}}$-1=0，
當且僅當r₁=r₂時，cos θ=0，
∴θ∈[0，$\frac{π}{2}$]．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單性質，考查向量共線定理，斜率公式，余弦定理及基本不等式的綜合應用，考查計算能力，屬于中檔題．