Question

10．平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線C₁：$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（b＞0）的漸近線與拋物線C₂：x²=2px（p＞0）交于點(diǎn)O，A，B．若△OAB的垂心為拋物線C₂的焦點(diǎn)，則b=$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由三角形垂心的性質(zhì)，得BF⊥OA，即k_BF•k_OA=-1，由此可得b．

解答 解：聯(lián)立漸近線與拋物線方程得A（pb，$\frac{1}{2}p^{2}$），B（-pb，$\frac{1}{2}p^{2}$），拋物線焦點(diǎn)為F（0，$\frac{p}{2}$），
由三角形垂心的性質(zhì)，得BF⊥OA，即k_BF•k_OA=-1，
又k_BF=$\frac{1}{4b}-\frac{2}$，k_OA=$\frac{2}$，
所以（$\frac{1}{4b}-\frac{2}$）$\frac{2}$=-1，∴b=$\sqrt{5}$．
故答案為：$\sqrt{5}$，

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的性質(zhì)，聯(lián)立方程組，根據(jù)三角形垂心的性質(zhì)，得BF⊥OA是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的計(jì)算能力．