Question

1．設(shè)函數(shù)f（x）=Asin（ωx+ϕ）（其中A＞0，ω＞0，0＜ϕ＜π）在$x=\frac{π}{3}$處取得最大值2，其圖象與x軸的相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為π．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式及其增區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）•cosx-1，求函數(shù)g（x）在區(qū)間$（0\;，\;\frac{π}{2}）$上的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先確定函數(shù)的周期，可得ω的值，利用函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，-π＜φ＜π）在$x=\frac{π}{3}$處取得最大值2，即可求得f（x）的解析式；利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．
（Ⅱ）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求解析式g（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$，由范圍x∈$（0\;，\;\frac{π}{2}）$，可得：2x+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$），利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解．

解答 解：（Ⅰ）由題意，T=2π，∴$\frac{2π}{ω}$=2π，∴ω=1，
∵函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，-π＜φ＜π）在$x=\frac{π}{3}$處取得最大值2，
∴A=2，sin（$\frac{π}{3}$+φ）=1，
∴φ=2kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
∵0＜ϕ＜π
∴φ=$\frac{π}{6}$，
∴f（x）的解析式為f（x）=2sin（x+$\frac{π}{6}$）．
∴由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，得-$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z
∴所求單調(diào)增區(qū)間為[-$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{π}{6}$+kπ]k∈Z．
（Ⅱ）∵g（x）=f（x）•cosx-1=2sin（x+$\frac{π}{6}$）•cosx-1=$\sqrt{3}$sinxcosx+cos²x-1=sin（2x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$，
∵x∈$（0\;，\;\frac{π}{2}）$，可得：2x+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$），
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈（-$\frac{1}{2}$，1]，可得：g（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$∈（-1，$\frac{1}{2}$]．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的解析式，考查函數(shù)的單調(diào)性，正確求函數(shù)的解析式是關(guān)鍵，屬于中檔題．