Question

9．已知函數(shù)$f（x）=\frac{3}{2}sinωx+\sqrt{3}{cos^2}ω\frac{x}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}（{0＜ω＜2}）$
（1）若函數(shù)f（x）圖象的一條對稱軸是直線$x=\frac{π}{4}$，求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足$f（{\frac{A}{ω}}）=2\sqrt{3}$，a=12，$C=\frac{π}{4}$，求b的值．

Answer 1

分析 利用倍角公式和輔助角公式化簡f（x）的解析式．
（1）由函數(shù)f（x）圖象的一條對稱軸是直線$x=\frac{π}{4}$，可得$\frac{π}{4}ω+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}+kπ（k∈Z）$，求得$ω=\frac{4}{3}+4k$，結合ω的范圍求得ω，再由周期公式求得周期；
（2）由$f（{\frac{A}{ω}}）=2\sqrt{3}$求得角A，再結合已知利用正弦定理得答案．

解答 解：$f（x）=\frac{3}{2}sinωx+\sqrt{3}{cos^2}ω\frac{x}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\sqrt{3}（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinωx+\frac{1}{2}cosx}）+\sqrt{3}$=$\sqrt{3}sin（{ωx+\frac{π}{6}}）$$+\sqrt{3}$．
（1）由$\frac{π}{4}ω+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}+kπ（k∈Z）$得：$ω=\frac{4}{3}+4k$，
∵0＜ω＜2，∴$ω=\frac{4}{3}$，
則函數(shù)f（x）的最小正周期為$T=\frac{2π}{ω}=\frac{3}{2}π$；
（2）由$f（{\frac{A}{ω}}）=\sqrt{3}sin（{A+\frac{π}{6}}）+\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，得$A=\frac{π}{3}$，
又$C=\frac{π}{4}$，∴$sinB=sin（A+C）=sin（{\frac{π}{3}+\frac{π}{4}}）=\frac{{\sqrt{2}+\sqrt{6}}}{4}$，
由$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$，
得$b=\frac{asinB}{sinA}=\frac{{3（{\sqrt{2}+\sqrt{6}}）}}{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}=2\sqrt{6}+6\sqrt{2}$．

點評 本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應用，考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，訓練了正弦定理在解三角形中的應用，是中檔題．