Question

18．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的圖象如圖所示．
（1）求A，ω及φ的值；
（2）若tanα=2，求f（$\frac{α}{2}$+$\frac{π}{8}$）的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的最值得到A，再由函數(shù)的周期為2（$\frac{5π}{8}$-$\frac{π}{8}$），結(jié)合周期公式得到ω的值，再根據(jù)函數(shù)的最大值對應的x值，代入并解之得φ，從而得到函數(shù)的表達式．
（2）由（1）可得：f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{4}$），由同角三角函數(shù)基本關(guān)系式結(jié)合tanα=2，可得cosα=±$\frac{\sqrt{5}}{5}$，利用誘導公式即可解得f（$\frac{α}{2}$+$\frac{π}{8}$）的值．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）的最大值為2，最小值為-2，∴A=2．
又∵函數(shù)的周期T=2（$\frac{5π}{8}$-$\frac{π}{8}$）=π，∴ω=$\frac{2π}{π}$=2，
∵函數(shù)圖象經(jīng)過點P（$\frac{π}{8}$，2），即：2sin（$\frac{π}{8}$×2+φ）=2，
解之得：$\frac{π}{4}$+φ=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z
∵0＜φ＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{4}$．
（2）由（1）可得：f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{4}$），
∵tanα=2，可得：cosα=±$\sqrt{\frac{1}{1+ta{n}^{2}α}}$=±$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴f（$\frac{α}{2}$+$\frac{π}{8}$）=2sin[2（$\frac{α}{2}$+$\frac{π}{8}$）+$\frac{π}{4}$]=2sin（α+$\frac{π}{2}$）=2cosα=±$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題給出函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象，要我們確定其解析式并根據(jù)解析式求三角函數(shù)值，著重考查了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象與性質(zhì)的知識，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，誘導公式的應用，屬于中檔題．