Question

8．已知函數(shù)f（x）=|x-2|．
（1）解不等f（x）+f（x+1）≥5；
（2）若|a|＞1且f（ab）＞|a|•f（${\frac{a}}$），證明：|b|＞2．

Answer 1

分析 （1）通過討論x的范圍，去掉絕對(duì)值號(hào)，解不等式即可；（2）求出f（ab）和f（$\frac{a}$），代入不等式，問題轉(zhuǎn)化為|ab-2|＞|b-2a|，平方證明即可．

解答 （1）解：原不等式等價(jià)于|x-2|+|x-1|≥5，
當(dāng)x＞2時(shí)，不等式可化為：（x-2）+（x-1）≥5，
解得：x≥4，
當(dāng)1≤x≤2時(shí)，不等式可化為（2-x）+（x-1）≥5，1≥5，無解，
x＜1時(shí)，不等式可化為：（2-x）+（1-x）≥5，解得：x≤-1，
綜上，不等式的解集是{x|x≥4或x≤-1}；
（2）證明：$f（{ab}）＞|a|•f（{\frac{a}}）$
?|ab-2|＞|a||$\frac{a}$-2|
?|ab-2|＞|b-2a|
?（ab-2）²＞（b-2a）²
?a²b²+4-b²-4a²＞0
?（a²-1）（b²-4）＞0，
∵|a|＞1，
∴a²-1＞0，
∴b²-4＞0，
∴|b|＞2，證畢．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解絕對(duì)值不等式問題，考查不等式的證明，是一道中檔題．