(2012•臺州模擬)已知函數(shù)f(x)=lnx-
1
2
ax2-2x(a<0)
(Ⅰ)若函數(shù)f(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間,求a的取值范圍;
(Ⅱ)若a=-
1
2
且關(guān)于x的方程f(x)=-
1
2
x+b在[1,4]上恰有兩個不相等的實數(shù)根,求實數(shù)b的取值范圍.
分析:(I)利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行理解,即f'(x)<0在(0,+∞)上有解.可得ax2+2x-1>0在正數(shù)范圍內(nèi)至少有一個解,結(jié)合根的判別式列式,不難得到a的取值范圍.
(II)關(guān)于x的方程f(x)=-
1
2
x+b可化為:
1
4
x2-
3
2
x+lnx-b=0,設(shè)方程的左邊為g(x),利用導(dǎo)數(shù)討論g(x)的單調(diào)性,得到它在[1,4]上先減再增,并且得到g(2)是極小值,g(1)和g(4)是極大值,由此建立不等式組并解之,可得實數(shù)b的取值范圍.
解答:解:(I)對函數(shù)求導(dǎo)數(shù),得f'(x)=-
ax2+2x-1
x
(x>0)
依題意,得f'(x)<0在(0,+∞)上有解.即ax2+2x-1>0在x>0時有解.
∴△=4+4a>0且方程ax2+2x-1=0至少有一個正根.
再結(jié)合a<0,得-1<a<0…(5分)
(II)a=-
1
2
時,f(x)=-
1
2
x+b即
1
4
x2-
3
2
x+lnx-b=0
設(shè)g(x)=
1
4
x2-
3
2
x+lnx-b,則g'(x)=
(x-2)(x-1)
2x

∴當(dāng)x∈(0,1)時,g'(x)>0;當(dāng)x∈(1,2)時,g'(x)<0;當(dāng)x∈(2,4)時,g'(x)>0.
得函數(shù)g(x)在(0,1)和(2,4)上是增函數(shù).在(1,2)上是減函數(shù)
∴g(x)的極小值為g(2)=ln2-b-2;g(x)的極大值為g(1)=-b-
5
4
,且g(4)=-b-2+2ln2;---(5分)
∵方程g(x)=0在[1,4]上恰有兩個不相等的實數(shù)根.
g(1)≥0
g(2)<0
g(4)≥0
,解之得:ln2-2<b≤-
5
4
…(5分)
點評:本題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù),以及函數(shù)與方程思想,體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)值為一種研究函數(shù)的工具,能完成單調(diào)性的判定和最值的求解方程,同時能結(jié)合常用數(shù)學(xué)思想,來考查同學(xué)們靈活運用知識解決問題的能力.
練習(xí)冊系列答案
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5
=0
上一點P(x,y)的“折線距離”的最小值是
5
2
5
2

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BM
=2
MA
,則
CM
CB
等于
24
24

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(2012•臺州模擬)設(shè)|
a
|=|
b
|=|
a
+
b
|≠0
,那么
a
-
b
b
的夾角為(  )

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