Question

已知直線l：y=2x-6，拋物線y²=ax，當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在l上時(shí)，若△ABC的頂點(diǎn)都在此拋物線上，且點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為8，三角形的重心恰好為焦點(diǎn)，求直線BC的斜率．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：先求出拋物線的方程，設(shè)出B，C的坐標(biāo)，根據(jù)三角形的重心是焦點(diǎn)，可得B，C的坐標(biāo)之間的關(guān)系，又點(diǎn)在拋物線上，有點(diǎn)差法可得斜率．

解答： 解：由題意可得，直線l：y=2x-6與x軸的交點(diǎn)（3，0）就是拋物線的焦點(diǎn)，
所以

a

4

=3，
∴a=12，
設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
由于三角形的重心恰好為焦點(diǎn)，
∴

y1+y2+8=0

3

，
∴y₁+y₂=-8，
又B，C在拋物線上，
∴y12=12x1，y22=12x2，
∴y22-y12=12(x2-x1)，
∴

y2-y1

x2-x1

=

12

y1+y2

=

12

-8

=-

3

2

．
∴直線BC的斜率是-

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察拋物線的性質(zhì)，三角形的重心，點(diǎn)差法求斜率的方法．