Question

9．函數(shù)f（x）=a^x（a＞0，a≠1）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（4，16），函數(shù)g（x）=x²+2x+b（b＞0）．
（1）寫出函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）設(shè)x∈[-1，0]時(shí)，f（x）＞g（x），請(qǐng)寫出b的取值范圍；
（3）設(shè)函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)y=f^-1（x），若當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)y=f^-1（x）與y=g（x）至少有一個(gè)函數(shù)的函數(shù)值為正實(shí)數(shù)，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把A點(diǎn)坐標(biāo)代入f（x）求出a即可；
（2）分離參數(shù)得b＜2^x-x²-2x，利用導(dǎo)數(shù)判斷右側(cè)函數(shù)的單調(diào)性得出其最小值即可得出b的范圍；
（2）由f^-1（x）≤0在（0，1]恒成立可得g（x）＞0在（0，1]上恒成立，根據(jù)g（x）的單調(diào)性得出g（0）≥0即可．

解答 解：（1）∵f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（4，16），∴a⁴=16，a=2．
∴f（x）=2^x．
（2）∵f（x）＞g（x），即2^x＞x²+2x+b，
∴b＜2^x-x²-2x，
令h（x）=2^x-x²-2x，則h′（x）=2^xln2-2x-2，h″（x）=2^x（ln2）²-2．
令h″（x）=0得x=log₂$\frac{2}{（ln2）^{2}}$，
∵0＜ln2＜1，∴l(xiāng)og₂$\frac{2}{（ln2）^{2}}$＞1，
∴當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)，h″（x）＜0，∴h′（x）在[-1，0]上是減函數(shù)，
∵h(yuǎn)′（-1）=$\frac{1}{2}$ln2＞0，h′（0）=ln2-2＜0，
∴存在x₀∈（-1，0），使得當(dāng)-1＜x＜x₀時(shí)，h′（x）＞0，當(dāng)x₀＜x＜0時(shí)，h′（x）＜0．
∴h（x）在[-1，x₀）上單調(diào)遞增，在（x₀，0]上單調(diào)遞減，
∵h(yuǎn)（-1）=$\frac{3}{2}$，h（0）=1，∴h_min（x）=1．
∴b＜1，又b＞0，
∴b的取值范圍是（0，1）．
（3）f^-1（x）=log₂x，∴當(dāng)0＜x≤1時(shí)，f^-1（x）≤0，當(dāng)x＞1時(shí)，f^-1（x）＞0．
∵當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)y=f^-1（x）與y=g（x）至少有一個(gè)函數(shù)的函數(shù)值為正實(shí)數(shù)，
∴g（x）＞0在（0，1]上恒成立．
∵g（x）=x²+2x+b在（0，1]上是增函數(shù)，∴g（0）≥0，
∴b≥0，又b≠0，
∴b的取值范圍是（0，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，函數(shù)最值的計(jì)算，屬于中檔題．