Question

14．設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，且a₁，d∈N^*．若設(shè)M₁是從a₁開始的前t₁項數(shù)列的和，即M₁=a₁+…+a_t1（1≤t₁，t₁∈N^*），${M_2}={a_{{t_1}+1}}+{a_{{t_1}+2}}+…+{a_{t_2}}（1＜{t_2}∈{N^*}）$，如此下去，其中數(shù)列{M_i}是從第t_i-1+1（t₀=0）開始到第t_i（1≤t_i）項為止的數(shù)列的和，即${M_i}={a_{{t_{i-1}}+1}}+…+{a_{t_i}}（1≤{t_i}，{t_i}∈{N^*}）$．
（1）若數(shù)列a_n=n（1≤n≤13，n∈N^*），試找出一組滿足條件的M₁，M₂，M₃，使得：M₂²=M₁M₃；
（2）試證明對于數(shù)列a_n=n（n∈N^*），一定可通過適當?shù)膭澐�，使所得的�?shù)列{M_n}中的各數(shù)都為平方數(shù)；
（3）若等差數(shù)列{a_n}中a₁=1，d=2．試探索該數(shù)列中是否存在無窮整數(shù)數(shù)列{t_n}，（1≤t₁＜t₂＜t₃＜…＜t_n），n∈N^*，使得{M_n}為等比數(shù)列，如存在，就求出數(shù)列{M_n}；如不存在，則說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可知，M₁=1，${M_2}=2+3+4=9={3^2}$，M₃=6+7+8+…+13=81，即可使得M₂²=M₁M₃；
（2）由（1）的分析，可知只要${t_n}=1+3+{3^2}+…+{3^{n-1}}$，則所得劃分就是符合題意的，由${t_n}=\frac{{{3^n}-1}}{2}$，${S_{t_n}}=1+2+3+…+\frac{{{3^n}-1}}{2}$=$\frac{{\frac{{{3^n}-1}}{2}（1+\frac{{{3^n}-1}}{2}）}}{2}$，${M_{n+1}}={S_{{t_{n+1}}}}-{S_{t_n}}={3^{2n}}$是完全平方數(shù)；
（3）假設(shè)存在存在無窮整數(shù)數(shù)列{t_n}，由題意求得：${M_n}=t_n^2-t_{n-1}^2$，數(shù)列{M_n}必定是公比q大于1的整數(shù)的等比數(shù)列，但事實上，$t_3^2={M_1}+{M_2}+{M_3}={M_1}（1+q+{q^2}）=t_1^2（1+q+{q^2}）$，從而要求1+q+q²是完全平方數(shù)，這是不可能的，故假設(shè)錯誤，本題結(jié)論是不存在．

解答 解：（1）則M₁=1，M₂=2+3+4=9，M₃=5+6+…+13=81；（4分）
（2）記t₁=1，即M₁=1，又由2+3+4=9=3²，${M_2}={3^2}$，
∴第二段可取3個數(shù)，t₂=1+3=4；再由5+6+…+13=81=3⁴，即${M_3}={3^4}$，
因此第三段可取9個數(shù)，即${t_3}=1+3+{3^2}=13，…$，依次下去，
一般地：${t_n}=1+3+…+{3^{n-1}}=\frac{{{3^n}-1}}{2}$，${t_{n+1}}=\frac{{{3^{n+1}}-1}}{2}$（6分）
所以${S_{t_n}}=1+2+3+…+\frac{{{3^n}-1}}{2}=\frac{{（\frac{{{3^n}-1}}{2}）（1+\frac{{{3^n}-1}}{2}）}}{2}$，（8分）
${S_{{t_{n+1}}}}=1+2+3+…+\frac{{{3^{n+1}}-1}}{2}=\frac{{（\frac{{{3^{n+1}}-1}}{2}）（1+\frac{{{3^{n+1}}-1}}{2}）}}{2}$（9分）
則${M_{n+1}}={S_{{t_{n+1}}}}-{S_{t_n}}=\frac{{（\frac{{{3^{n+1}}-1}}{2}）（1+\frac{{{3^{n+1}}-1}}{2}）}}{2}-\frac{{（\frac{{{3^n}-1}}{2}）（1+\frac{{{3^n}-1}}{2}）}}{2}={3^{2n}}$．
由此得證．（11分）
（3）不存在．令${S_{t_n}}={t_n}{a_1}+\frac{{{t_n}（{t_n}-1）}}{2}d=t_n^2$，則${M_n}=t_n^2-t_{n-1}^2$
假設(shè)存在符合題意的等比數(shù)列，則{M_n}的公比必為大于1的整數(shù)，
（∵${M_n}≥t_n^2-{（{t_n}-1）^2}=2{t_n}-1∴{M_n}→+∞$，因此q＞1），即${M_n}={M_1}{q^{n-1}}∈{N^*}$，
此時，注意到，$t_3^2={M_3}+{M_2}+{M_1}={M_1}（1+q+{q^2}）=t_1^2（1+q+{q^2}）$（14分）
要使$t_3^2=t_1^2（1+q+{q^2}）$成立，則1+q+q²必為完全平方數(shù)，（16分）
但q²＜1+q+q²＜（q+1）²，矛盾．因此不存在符合題意的等差數(shù)列{M_n}．（18分）

點評 本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合運用，考查新定義，考查反證法的運用，考查學生分析問題及解決問題的能力，屬于難題．