Question

9．已知函數(shù)g（x）=e²（ax²+a+1）-2e^x，若對任意的x∈[1，2]，都有g(shù)（x）≥0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． [$\frac{1}{5}$，+∞）
• B． [$\frac{2}{e}$，+∞）
• C． [$\frac{2}{e}-1$，$\frac{1}{5}$]
• D． [1-$\frac{2}{e}$，+∞）

Answer 1

分析 根據(jù)g（x）≥0即可得出$a≥\frac{2{e}^{x}-{e}^{2}}{{e}^{2}（{x}^{2}+1）}$，可設(shè)$f（x）=\frac{2{e}^{x}-{e}^{2}}{{e}^{2}（{x}^{2}+1）}$，且x∈[1，2]，從而可求導(dǎo)數(shù)，并根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號判斷f（x）的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性即可求出f（x）在[1，2]上的最大值，從而得出a的取值范圍．

解答 解：由g（x）≥0得，e²（ax²+a+1）-2e^x≥0；
∴$a≥\frac{2{e}^{x}-{e}^{2}}{{e}^{2}（{x}^{2}+1）}$；
設(shè)f（x）=$\frac{2{e}^{x}-{e}^{2}}{{e}^{2}（{x}^{2}+1）}$，$f′（x）=\frac{2{e}^{x}（{x}^{2}+1）-4x{e}^{x}+2{e}^{2}x}{{e}^{2}（{x}^{2}+1）^{2}}$=$\frac{2{e}^{x}（x-1）^{2}+2{e}^{2}x}{{e}^{2}（{x}^{2}+1）^{2}}$；
∵x∈[1，2]；
∴f′（x）＞0；
∴f（x）在[1，2]上單調(diào)遞增；
∴f（x）在[1，2]上的最大值為$f（2）=\frac{{e}^{2}}{5{e}^{2}}=\frac{1}{5}$；
∴$a≥\frac{1}{5}$；
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是$[\frac{1}{5}，+∞）$．
故選：A．

點(diǎn)評 考查不等式的性質(zhì)，商的導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式，完全平方公式的運(yùn)用，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，以及根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的方法，恒成立問題的處理方法．