Question

5．（1）若$tanα=\frac{1}{2}$，求sin²α+sinαcosα的值
（2）化簡$\frac{1+sinx}{cosx}•\frac{sin2x}{{2{{cos}^2}（\frac{π}{4}-\frac{x}{2}）}}$．

Answer 1

分析 （1）方法一：采用切化弦思想．方法二：弦化切的思想．
（2）利用誘導(dǎo)公式和二倍角公式進(jìn)行化解即可．

解答 解：（1）解法一：采用切化弦思想；
∵$\frac{sinα}{cosα}$=tanα=$\frac{1}{2}$，
∴2sinα=cosα，
又∵sin²α+cos²α=1，
解得：sin²α=$\frac{1}{5}$
則：sin²α+sinαcosα=sin²α+sinα•2sinα=3sin²α=$\frac{3}{5}$．
解法二：采用弦化切的思想：
∵tanα=$\frac{1}{2}$，
則：sin²α+sinαcosα=$\frac{si{n}^{2}α+sinαcosα}{1}=\frac{si{n}^{2}α+sinαcosα}{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}$
=$\frac{ta{n}^{2}α+tanα}{ta{n}^{2}α+1}$=$\frac{（\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{2}}{（\frac{1}{2}）^{2}+1}$=$\frac{3}{5}$．
（2）$\frac{1+sinx}{cosx}•\frac{sin2x}{{2{{cos}^2}（\frac{π}{4}-\frac{x}{2}）}}$；
原式=$\frac{1+sinx}{cosx}•\frac{2sinxcosx}{cos2（\frac{π}{4}-\frac{x}{2}）+1}$=$\frac{1+sinx}{cosx}•\frac{2sinxcosx}{sinx+1}=2sinx$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了采用切化弦和弦化切的思想以及誘導(dǎo)公式和二倍角公式進(jìn)行化解計(jì)算的能力．屬于基礎(chǔ)題．