Question

11．已知函數(shù)g（x）=$\frac{1}{2}a{x^2}$-（a+1）x+lnx（a∈R，a≠0）．
（1）求函數(shù)g（x）的單調區(qū)間；
（2）若當x∈[1，+∞）時恒有g（x）＜0，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導數(shù)，分類討論，利用導數(shù)的正負，即可求函數(shù)g（x）的單調區(qū)間；
（2）若當x∈[1，+∞）時恒有g（x）＜0，g（x）_max＜0，結合（1），求實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）函數(shù)的定義域為（0，+∞）．
${g^'}（x）=ax-（a+1）+\frac{1}{x}=\frac{{a{x^2}-（a+1）x+1}}{x}=\frac{（ax-1）（x-1）}{x}$（1分）
①當0＜a＜1時，$\frac{1}{a}＞1＞0$．當x∈（0，1）時g′（x）＞0，
當$x∈（1，\frac{1}{a}）$時g′（x）＜0；
當$x∈（\frac{1}{a}，+∞）$時，g′（x）＞0，
所以，g（x）的單增區(qū)間為（0，1），$（\frac{1}{a}，+∞）$，單減區(qū)間為$（1，\frac{1}{a}）$．（2分）
②當a=1時，恒有g，（x）≥0，所以g（x）的單增區(qū)間為（0，+∞）-（3分）
③當a＞1時，$0＜\frac{1}{a}＜1$當$x∈（0，\frac{1}{a}）$時，g′（x）＞0；
當$x∈（\frac{1}{a}，1）$時g′（x）＜0；
當x∈（1，+∞）時，g′（x）＞0，
所以，g（x）的單增區(qū)間為$（0，\frac{1}{a}）$，（1，+∞），單減區(qū)間為$（\frac{1}{a}，1）$．-（4分）
④當a＜0時，$\frac{1}{a}＜0＜1$當x∈（0，1）時，g′（x）＞0，當x∈（1，+∞）時，g′（x）＜0
所以，g（x）的單增區(qū)間為（0，1），單減區(qū)間為．（1，+∞）-（6分）
（2）當x∈[1，+∞）時恒有g（x）＜0，即g（x）_max＜0，
由（1）知：當a＜0時，g（x）在[1，+∞）單調遞減，則$g{（x）_{max}}=g（1）=-\frac{a}{2}-1＜0$，得-2＜a＜0；
當0＜a＜1時，g（x）在$（1，\frac{1}{a}）$上單調遞減，在$（\frac{1}{a}，+∞）$上單調遞增，此時g（x）∈[g（1），+∞），故不可能g（x）_max＜0，不合題意；
當a≥1時，g（x）在[1，+∞）單調遞增，g（x）∈[g（1），+∞），故不可能g（x）_max＜0，不合題意．
綜上：a的取值范圍-2＜a＜0．（10分）

點評 本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值以及由函數(shù)恒成立的問題求參數(shù)的取值范圍，求解本題關鍵是記憶好求導的公式以及極值的定義，對于函數(shù)的恒成立的問題求參數(shù)，要注意正確轉化，恰當?shù)霓D化可以大大降低解題難度．