Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)存在兩個零點，，使，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時，在單調(diào)遞增；當(dāng)時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；（2）2.

【解析】

（1）對函數(shù)求導(dǎo)，由x>0,進而對和分別討論，得出的單調(diào)性.（2）函數(shù)有兩個零點，，得，代入，令，則，設(shè)，求導(dǎo)得在上的最值即可.

（1）函數(shù)的定義域為，.

當(dāng)時，，在單調(diào)遞增；

當(dāng)時，令，得，

當(dāng)時，；當(dāng)時，.

所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.

綜上所述，當(dāng)時，在單調(diào)遞增；

當(dāng)時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.

（2）因為，，即，.

兩式相減得，即.

由已知，得.

因為，，所以，即.

不妨設(shè)，則有.

令，則，所以，即恒成立.

設(shè).

.

令，，的圖象開口向上，對稱軸方程為，

方程的判別式.

當(dāng)時，在單調(diào)遞增，，所以,

在單調(diào)遞增，所以在恒成立.

當(dāng)時，，在上恒成立，所以，

在單調(diào)遞增，所以在恒成立.

當(dāng)時，在單調(diào)遞減，因為，，

所以存在，使得

當(dāng)時，，；當(dāng)時，，，

所以在上遞增，在上遞減.

當(dāng)時，都有，

所以在不恒成立.

綜上所述，的取值范圍是，所以的最大值為2.