Question

9．設(shè)函數(shù)f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）若b=1，函數(shù)f（x）在[-1，1]的值域是[m，n]，求函數(shù)h（a）=n-m的表達(dá)式；
（Ⅱ）令t=b-$\frac{a^2}{4}$，若存在實(shí)數(shù)c，使得|f（c）|≤1與|f（c+2）|≤1同時(shí)成立，求t的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若b=1，則$f（x）={x^2}+ax+1={（x+\frac{a}{2}）^2}+1-\frac{a^2}{4}$，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出m，n的表達(dá)式，進(jìn)而可得：函數(shù)h（a）=n-m的表達(dá)式；
（Ⅱ）$f（x）={x^2}+ax+b={（x+\frac{a}{2}）^2}+b-\frac{a^2}{4}$，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)分類討論，最后綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答 解：（Ⅰ）若b=1，則$f（x）={x^2}+ax+1={（x+\frac{a}{2}）^2}+1-\frac{a^2}{4}$，
則$m=\left\{{\begin{array}{l}{f（-1），a≥2}\\{f（-\frac{a}{2}），-2≤a≤2}\\{f（1），a≤-2}\end{array}}\right.=\left\{{\begin{array}{l}{2-a，a≥2}\\{1-\frac{a^2}{4}，-2≤a≤2}\\{2+a，a≤-2}\end{array}}\right.$，
$n=\left\{{\begin{array}{l}{f（-1），a＜0}\\{f（1），a≥0}\end{array}}\right.=\left\{{\begin{array}{l}{2-a，a＜0}\\{2+a，a≥0}\end{array}}\right.$
則$h（a）=n-m=\left\{{\begin{array}{l}{2a，a≥2}\\{\frac{a^2}{4}+a+1，0≤a＜2}\\{\frac{a^2}{4}-a+1，-2≤a＜0}\\{-2a，a＜-2}\end{array}}\right.$
（Ⅱ）$f（x）={x^2}+ax+b={（x+\frac{a}{2}）^2}+b-\frac{a^2}{4}$
（1）當(dāng)$b-\frac{a^2}{4}＞1$時(shí)，$|f（x）|=f（x）≥b-\frac{a^2}{4}＞1$，不滿足題意．
（2）當(dāng)$0＜b-\frac{a^2}{4}≤1$，即-4≤a²-4b＜0時(shí)，
由方程|f（x）|=1，即f（x）=1，
由x²+ax+b-1=0，得${x_{1、2}}=\frac{{-a±\sqrt{{a^2}-4b+4}}}{2}$，
則當(dāng)x∈[x₁，x₂]時(shí)，|f（x）|≤1，
而$|{x_1}-{x_2}|=\sqrt{{a^2}-4b+4}＜2$，故c與c+2必然不能同時(shí)滿足∈[x₁，x₂]，
故不滿足題意．
（3）當(dāng)$-1＜b-\frac{a^2}{4}≤0$，即0≤a²-4b＜4時(shí)，
由方程|f（x）|=1，即f（x）=1，
由x²+ax+b-1=0，得${x_{1、2}}=\frac{{-a±\sqrt{{a^2}-4b+4}}}{2}$，
則當(dāng)x∈[x₁，x₂]時(shí)，|f（x）|≤1，而$|{x_1}-{x_2}|=\sqrt{{a^2}-4b+4}≥2$，
故必然存在c與c+2同時(shí)滿足∈[x₁，x₂]，
故滿足題意，則$t=b-\frac{a^2}{4}∈（-1，0]$
（4）當(dāng)$b-\frac{a^2}{4}≤-1$，即a²-4b≥4時(shí)，
由方程|f（x）|=1，即f（x）=±1，
由x²+ax+b-1=0，得${x_1}=\frac{{-a-\sqrt{{a^2}-4b+4}}}{2}，{x_2}=\frac{{-a+\sqrt{{a^2}-4b+4}}}{2}$，
由x²+ax+b+1=0，得${x_3}=\frac{{-a-\sqrt{{a^2}-4b-4}}}{2}，{x_4}=\frac{{-a+\sqrt{{a^2}-4b-4}}}{2}$，
當(dāng)x∈[x₁，x₃]∪[x₄，x₂]時(shí)，|f（x）|≤1，
而$|{x_1}-{x_2}|=\sqrt{{a^2}-4b+4}≥2\sqrt{2}＞2$，（有可能同時(shí)存在c與c+2滿足條件）
且$|{x_1}-{x_3}|=\frac{{\sqrt{{a^2}-4b+4}-\sqrt{{a^2}-4b-4}}}{2}=\frac{4}{{\sqrt{{a^2}-4b+4}+\sqrt{{a^2}-4b-4}}}≤\sqrt{2}＜2$
則c與c+2若要滿足條件，則必須滿足c∈[x₁，x₃]，c+2∈[x₄，x₂]，故若同時(shí)存在c與c+2滿足條件，則必須要求|x₃-x₄|≤2
而$|{x_3}-{x_4}|=\sqrt{{a^2}-4b-4}≤2$，解得a²-4b≤8，即$t=b-\frac{a^2}{4}∈[-2，-1]$
綜上所述，$t=b-\frac{a^2}{4}∈[-2，0]$

點(diǎn)評 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．