Question

在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程式為ρ=2，P是曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，A（2，0），M是線段AP的中點(diǎn)，曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+

π

4

）=

2

2

m．
（Ⅰ）求點(diǎn)M軌跡C₂的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）當(dāng)曲線C₁與曲線C₂有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,簡單曲線的極坐標(biāo)方程

專題：綜合題,直線與圓

分析：（Ⅰ）由曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2，可得直角坐標(biāo)方程x²+y²=4．可設(shè)曲線C的參數(shù)方程，P（2cosθ，2sinθ），M（x，y）再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得出．
（II）曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+

π

4

）=

2

2

m，可化為x+y-m=0，與x²+y²=4聯(lián)立，利用曲線C₁與曲線C₂有兩個(gè)公共點(diǎn)，即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2，可得x²+y²=4．
可設(shè)曲線C的參數(shù)方程為

x=2cosθ y=2sinθ

，
設(shè)P（2cosθ，2sinθ），M（x，y）
則

x=cosθ+1 y=sinθ

，
消去θ可得點(diǎn)M的軌跡方程為：（x-1）²+y²=1（x≠2）；
（Ⅱ）曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+

π

4

）=

2

2

m，可化為x+y-m=0，
與x²+y²=4聯(lián)立可得2x²-2mx+m²-4=0，
∵曲線C₁與曲線C₂有兩個(gè)公共點(diǎn)，
∴△=4m²-8（m²-4）＞0，
∴-2

2

＜m＜2

2

．

點(diǎn)評：本題綜合考查了圓的極坐標(biāo)方程、直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程及中點(diǎn)坐標(biāo)，屬于中檔題．