在平面直角坐標系中，若數(shù)學公式，且數(shù)學公式．
（1）求動點M（x，y）的軌跡C的方程；
（2）過點（0，3）作直線l與曲線C交于A、B兩點，設數(shù)學公式，是否存在這樣的直線l，使得四邊形OAPB為矩形？若存在，求出直線l的方程，不存在，說明理由．

解：（1）因為，且．
所以動點M到兩個定點F1（0，-2），F(xiàn)2（0，2）的距離的和為8．
所以軌跡C以F1（0，-2），F(xiàn)2（0，2）為焦點的橢圓，
方程為．
（2）為直線l過點（0，3）．
若直線l是y軸，則A、B是橢圓的頂點．
，
所以O與P重合，與四邊形OAPB是矩形矛盾．
所以直線l的斜率存在，
設直線l的方程為y=kx+3，A（x1，y1），B（x2，y2）
由，
由于△=（18k2）-4（4+3k2）（-21）＞0恒成立．
由韋達定理．
因為，
所以OAPB是平行四邊形．
若存在直線l，使得四邊形OAPB為矩形，
則OA⊥OB，即，
因為，，
所以，
所以（1+k2）x1x2+3k（x1+x2）+9=0，
所以
機，
故存在直線，使得四邊形OAPB為矩形．
分析：（1）因為，且．所以動點M到兩個定點F1（0，-2），F(xiàn)2（0，2）的距離的和為8．由此能求出動點M（x，y）的軌跡C的方程．
（2）若直線l是y軸，則A、B是橢圓的頂點．，所以O與P重合，與四邊形OAPB是矩形矛盾．所以直線l的斜率存在，設直線l的方程為y=kx+3，A（x1，y1），B（x2，y2），由，由于△=（18k2）-4（4+3k2）（-21）＞0恒成立．由韋達定理．因為，所以OAPB是平行四邊形．由此能夠導出存在直線，使得四邊形OAPB為矩形．
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．易錯點是計算量大，容易出錯．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系xOy中，以O為極點，x正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為：pcos(θ-
π3
)=1，M，N分別為曲線C與x軸，y軸的交點，則MN的中點P在平面直角坐標系中的坐標為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系中，A（3，0）、B（0，3）、C（cosθ，sinθ），θ∈(
π
2
，
3π
2
)，且|
AC
|=|
BC
|．
（1）求角θ的值；
（2）設α＞0，0＜β＜
π
2
，且α+β=
2
3
θ，求y=2-sin2α-cos2β的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系中，如果x與y都是整數(shù)，就稱點（x，y）為整點，下列命題中正確的是
 
（寫出所有正確命題的編號）．
①存在這樣的直線，既不與坐標軸平行又不經過任何整點
②如果k與b都是無理數(shù)，則直線y=kx+b不經過任何整點
③直線l經過無窮多個整點，當且僅當l經過兩個不同的整點
④直線y=kx+b經過無窮多個整點的充分必要條件是：k與b都是有理數(shù)
⑤存在恰經過一個整點的直線．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系中，下列函數(shù)圖象關于原點對稱的是（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系中，以點（1，0）為圓心，r為半徑作圓，依次與拋物線y2=x交于A、B、C、D四點，若AC與BD的交點F恰好為拋物線的焦點，則r=
 
．

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