Question

8．如圖，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD和側(cè)面BCC₁B₁都是矩形，E是CD的中點(diǎn)，D₁E⊥CD，AB=2BC=2．
（Ⅰ）求證：D₁E⊥底面ABCD；
（Ⅱ）若直線BD₁與平面ABCD所成的角為$\frac{π}{3}$，求四棱錐D₁-ABED體積．

Answer 1

分析 （I）由矩形性質(zhì)得BC⊥CD，BC⊥CC₁，從而BC⊥平面DCC₁D₁，得出BC⊥D₁E，又D₁E⊥CD得出D₁E⊥底面ABCD；
（II）求出BE，根據(jù)∠D₁BE=$\frac{π}{3}$得出D₁E，即棱錐D₁-ABED的高，代入體積公式計(jì)算即可．

解答 證明：（Ⅰ）∵底面ABCD和側(cè)面BCC₁B₁都是矩形，
∴BC⊥CD，BC⊥CC₁，
又∵CD∩CC₁=C，CD?平面DCC₁D₁，CC₁?平面DCC₁D₁，
∴BC⊥平面DCC₁D₁，
∵D₁E?平面DCC₁D₁，
∴BC⊥D₁E，
又∵D₁E⊥CD，BC∩CD=C，BC?平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴D₁E⊥底面ABCD．
解：（Ⅱ）∵D₁E⊥底面ABCD，BE?平面ABCD，
∴D₁E⊥BE．∠D₁BE為BD₁與平面ABCD所成的角，即∠D₁BE=$\frac{π}{3}$．
∵BC=CE=1，BC⊥CD，
∴BE=$\sqrt{2}$，
∴D₁E=$\sqrt{3}$BE=$\sqrt{6}$．
V${\;}_{{D}_{1}-ABED}$=$\frac{1}{3}{S}_{梯形ABED}•{D}_{1}E$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×（1+2）×1×\sqrt{6}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了線面垂直的判定，棱錐的體積計(jì)算，屬于中檔題．