Question

3．如圖，平行四邊形ABCD中，CD=1，∠BCD=60°，且BD⊥CD，正方形ADEF所在平面和平面ABCD垂直，G，H分別是DF，F(xiàn)C的中點(diǎn)．
（1）求證：GH∥平面CDE；
（2）求證：BD⊥平面CDE；
（3）求三棱錐C-ADG的體積．

Answer 1

分析 （1）欲證GH∥平面CDE，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證GH與平面CDE內(nèi)一直線平行，而G，H分別是DF，F(xiàn)C的中點(diǎn)，則GH∥CD，CD?平面CDE，GH?平面CDE，滿足定理所需條件．
（2）欲證BD⊥平面CDE，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證BD與平面CDE內(nèi)兩相交直線垂直，根據(jù)平面ADEF⊥平面ABCD，交線為AD，ED⊥AD，ED?平面ADEF，則ED⊥平面ABCD，從而ED⊥BD，BD⊥CD，CD∩ED=D，滿足定理所需條件．
（3）求出點(diǎn)C到平面ADG的距離，利用三棱錐的體積公式，即可求三棱錐C-ADG的體積．

解答 證明：（1）∵G，H分別是DF，F(xiàn)C的中點(diǎn)，
∴△FCD中，GH∥CD，
又∵CD?平面CDE，GH?平面CDE
∴GH∥平面CDE；
（2）平面ADEF⊥平面ABCD，交線為AD，
∵ED⊥AD，ED?平面ADEF
∴ED⊥平面ABCD，
∴ED⊥BD，
又∵BD⊥CD，CD∩ED=D
∴BD⊥平面CDE；
解：（3）在△BCD中，由已知得$BD=\sqrt{3}$，BC=2．
設(shè)Rt△BCD中BC邊上的高為h．
依題意：$\frac{1}{2}•2•h=\frac{1}{2}•1•\sqrt{3}$，解得$h=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
∴點(diǎn)C到平面ADG的距離為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
又${S_{△AGD}}=\frac{1}{2}•2•1=1$，
∴${V_{C-ADG}}=\frac{1}{3}•{S_{△AGD}}•h=\frac{1}{3}•1•\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線面平行的判定定理和線面垂直的判定定理，考查三棱錐體積的計(jì)算．考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合應(yīng)用能力和基本定理的掌握能力，屬于中檔題．