Question

12．給定集合A={a₁，a₂，a₃，…，a_n}（n∈N^*，n≥3）中，定義a_i+a_j（1≤i＜j≤n，i，j∈N^*）中所有不同值的個(gè)數(shù)為集合A兩元素和的容量，用L（A）表示．若數(shù)列{a_n}是公差不為0的等差數(shù)列，設(shè)集合A={a₁，a₂，a₃，…，a₂₀₁₆}，則L（A）=4029．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，對(duì)于集合A={a₁，a₂，a₃，…，a₂₀₁₆}，將其中a_i+a_j的情況分行表示出來(lái)為，進(jìn)而結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)分行分析其中重復(fù)的情況，進(jìn)而結(jié)合L（A）的定義計(jì)算可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，對(duì)于集合A={a₁，a₂，a₃，…，a₂₀₁₆}，將其中a_i+a_j的情況分行表示出來(lái)為：
a₁+a₂、a₁+a₃、a₁+a₄、a₁+a₅、…a₁+a₂₀₁₆，
a₂+a₃、a₂+a₄、a₂+a₅、…a₂+a₂₀₁₆，
a₃+a₄、a₃+a₅、…a₃+a₂₀₁₆，
…
a₂₀₁₅+a₂₀₁₆，
其中第二行除了a₂+a₂₀₁₆外，其余均與第一行有重復(fù)，即第二行只剩余一個(gè)不重復(fù)a_i+a_j的值，
同理，以下的2013行均只有一個(gè)一個(gè)不重復(fù)a_i+a_j的值，
則L（A）=2015+1+…+1=2015+2014=4029；
故答案為：4029．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，涉及集合中元素的特征，關(guān)鍵是理解題干中L（A）的定義，其次要注意到集合中元素的互異性．