Question

已知AB是圓O的直徑，C，D是圓上不同兩點(diǎn)，且CD∩AB=H，AC=AD，PA⊥圓O所在平面．
（Ⅰ）求證：PB⊥CD；
（Ⅱ）若PB與圓O所在平面所成角為

π

4

，且∠CAD=

2π

3

，求二面角C-PB-D的大小的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角,空間向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）要證明線線垂直，重點(diǎn)要根據(jù)線面垂直進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即要證明PB⊥CD只要能證明CD⊥平面PAB即可，進(jìn)一步找到CD⊥平面PAB的條件．
（Ⅱ）要求二面角C-PB-D的大小的余弦值，直接使用幾何法較為困難，可以通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面的法向量以及向量的數(shù)量積來進(jìn)行求解．

解答： （Ⅰ）證明：
∵AB是圓O的直徑
∴∠ACB=∠ADB=

π

2

，
∵AC=AD
∴Rt△ACB≌Rt△ADB
∴AB⊥CD
∵PA⊥圓O所在平面，CD在圓O所在平面內(nèi)
∴PA⊥CD
∵PA∩AB=A
∴CD⊥平面PAB
∴PB⊥CD
（Ⅱ）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz：設(shè)PA=2
∵∠PBA是直線PB與圓O所在平面所成的平面角，且∠PBA=

π

4

∴AB=2
∵∠CAD=

2π

3

，
∴∠CAB=∠DAB=

π

3

∴AC=1，CD=

3

∴D（

3

2

，

1

2

，0），C（-

3

2

，

1

2

，0），B（0，2，0），P（0，0，2）

BD

=（

3

2

，-

3

2

，0），

BC

=（-

3

2

，-

3

2

，0），

BP

=（0，-2，2）
設(shè)平面PBD的法向量為：

V

=(x，y，z)
則

V • BD =0 V • BP =0

3 2 x- 3 2 =0 -2y+2z=0

 令x=

3

 則

V

=（

3

，1，1）
同理解得平面PBC的法向量：

u

=(

3

，-1，-1)
設(shè)二面角C-PB-D的大小為θ
cosθ=

v • u

| v |•| u|

=

1

5

即二面角C-PB-D的大小的余弦值為

1

5

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)：直線與直線的垂直，直線與平面垂直的判定與性質(zhì)以及線線垂直與線面垂直的互化，空間直角坐標(biāo)系的建立，平面的法向量，向量的數(shù)量積，是高考的重點(diǎn)考查題型．