Question

17．已知函數(shù)f（x）=ax²-bx+lnx，a，b∈R．
（1）當(dāng)a=b=1時(shí)，求曲線(xiàn)y=f（x）在x=1處的切線(xiàn)方程；
（2）當(dāng)b=2a+1時(shí)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）首先對(duì)f（x）求導(dǎo)，因?yàn)閒（1）=0，f′（1）=2，可直接利用點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線(xiàn)方程；
（2）求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，對(duì)參數(shù)a進(jìn)行分類(lèi)討論判斷函數(shù)的單調(diào)性即可．

解答 解：（1）因?yàn)閍=b=1，所以f（x）=x²-x+lnx，
從而f'（x）=2x-1+$\frac{1}{x}$
因?yàn)閒（1）=0，f′（1）=2，
故曲線(xiàn)y=f（x）在x=1處的切線(xiàn)方程為y-0=2（x-1），即2x-y-2=0
（2）因?yàn)閎=2a+1，所以f（x）=ax²-（2a+1）x+lnx，從而
f'（x）=2ax-（2a-1）+$\frac{1}{x}$=$\frac{（2ax-1）（x-1）}{x}$，x＞0；
當(dāng)a≤0時(shí)，x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＞0，x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，
所以，f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減
當(dāng)0＜a＜$\frac{1}{2}$ 時(shí)，由f'（x）＞0得0＜x＜1 或x＞$\frac{1}{2a}$，由f'（x）＜0 得1＜x＜$\frac{1}{2a}$
所以f（x）在區(qū)間（0，1）和區(qū)間（$\frac{1}{2a}$，+∞）上單調(diào)遞增，在區(qū)間 （1，$\frac{1}{2a}$）上單調(diào)遞減．
當(dāng)a=$\frac{1}{2}$ 時(shí)，因?yàn)閒'（x）≥0（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)），
所以f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增．
當(dāng)a＞$\frac{1}{2}$ 時(shí)，由f'（x）＞0得0＜x＜$\frac{1}{2a}$或x＞1，由f'（x）＜0 得$\frac{1}{2a}$＜x＜1，
所以f（x）在區(qū)間（0，$\frac{1}{2a}$）和區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（$\frac{1}{2a}$，1）上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，以及求曲線(xiàn)某點(diǎn)處的切線(xiàn)方程與分類(lèi)討論思想，屬中等題．