Question

6．已知函數(shù)f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{4}$），x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和單調遞增區(qū)間；
（Ⅱ）說明函數(shù)f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{4}$），x∈R的圖象可由正弦曲線y=sinx經(jīng)過怎樣的變化得到；
（Ⅲ）若f（$\frac{α}{2}$-$\frac{π}{8}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．α是第二象限的角，求sin2α．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的周期性和單調性，求得f（x）的最小正周期和單調遞增區(qū)間．
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，得出結論．
（Ⅲ）由f（$\frac{α}{2}$-$\frac{π}{8}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$求得sinα的值，由α是第二象限的角求得cosα的值，利用二倍角的正弦公式求得sin2α的值．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{4}$），故它的最小正周期為$\frac{2π}{2}$=π，
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{π}{8}$，可得該單調遞增區(qū)間為[kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$]，k∈Z．
（Ⅱ）把正弦曲線y=sinx的圖象向左平移$\frac{π}{4}$個單位，可得y=sin（x+$\frac{π}{4}$）的圖象；
再把橫坐標變?yōu)樵瓉淼囊话耄�可得y=sin（2x+$\frac{π}{4}$）的圖象；再把函數(shù)的圖象上的點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，
可得函數(shù)f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{4}$），x∈R的圖象．
（Ⅲ）∵f（$\frac{α}{2}$-$\frac{π}{8}$）=2sin（α-$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{4}$）=2sinα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴sinα=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
∵α是第二象限的角，∴cosα=-$\sqrt{{1-sin}^{2}α}$=-$\frac{\sqrt{13}}{4}$，∴sin2α=2sinαcosα=-$\frac{\sqrt{39}}{8}$．

點評 本題主要考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象和性質，二倍角的正弦公式，屬于基礎題．