Question

17．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，a_n+a_n+1=3×2^n-1．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄，猜想{a_n}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明；
（Ⅱ）設(shè)b_n=log₂a_n+1+$\sqrt{2}$，求證：數(shù)列{b_n}中任意三項(xiàng)均不成等比數(shù)列．

Answer 1

分析 （I）由a₁=1，a_n+a_n+1=3×2^n-1．可得a₂=2，a₃=4，a₄=8．猜想：a_n=2^n-1．再利用數(shù)學(xué)歸納法即可證明．
（II）b_n=log₂a_n+1+$\sqrt{2}$=n+$\sqrt{2}$．假設(shè)數(shù)列{b_n}中存在不同三項(xiàng)b_p，b_q，b_r（p，q，r為互不相等的正整數(shù)）成等比數(shù)列．可得$_{q}^{2}$=b_p•b_r，$（q+\sqrt{2}）^{2}$=（p+$\sqrt{2}$）（r+$\sqrt{2}$），經(jīng)過化簡得出矛盾即可得出結(jié)論．

解答 （I）解：由a₁=1，a_n+a_n+1=3×2^n-1．
可得a₂=2，a₃=4，a₄=8．
猜想：a_n=2^n-1．
下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明：
（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1成立．
（2）假設(shè)n=k∈N^*時(shí)成立，即a_k=2^k-1．
則n=k+1時(shí)，a_k+1+a_k=3×2^k-1，可得a_k+1=2^k+1-1．
∴n=k+1時(shí)，猜想成立．
綜上可得：?n∈N^*，a_n=2^n-1．
（II）證明：b_n=log₂a_n+1+$\sqrt{2}$=n+$\sqrt{2}$．
假設(shè)數(shù)列{b_n}中存在不同三項(xiàng)b_p，b_q，b_r（p，q，r為互不相等的正整數(shù)）成等比數(shù)列．
則$_{q}^{2}$=b_p•b_r，可得：$（q+\sqrt{2}）^{2}$=（p+$\sqrt{2}$）（r+$\sqrt{2}$），
∴（q²-pr）+（2q-p-r）$\sqrt{2}$=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{q}^{2}-pr=0}\\{2q-p-r=0}\end{array}\right.$，∴$（\frac{p+r}{2}）^{2}$=pr，即（p-r）²=0，解得p=r，與p≠r矛盾．
∴數(shù)列{b_n}中任意不同三項(xiàng)均不成等比數(shù)列．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、數(shù)學(xué)歸納法、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)、方程的解法、反證法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．