Question

【題目】已知函數(shù)

（1）證明:函數(shù)在區(qū)間存在唯一的極小值點(diǎn)，且；

（2）證明:函數(shù)于有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）由導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再研究導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)號(hào)即可，

因?yàn)?/span>為增函數(shù)，因?yàn)?/span>，，由零點(diǎn)定理運(yùn)算可得存在唯一的使得，即可得證；

（2）由特值法可得是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，

再討論當(dāng)時(shí)，由指數(shù)函數(shù)的值域及三角函數(shù)的有界性可得函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)；然后討論時(shí)，結(jié)合（1）及零點(diǎn)定理可得在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，在無(wú)零點(diǎn)，綜上即可得證.

證明：（1）由.

令，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，指數(shù)函數(shù)也為增函數(shù)，

故當(dāng)時(shí)，函數(shù)為增函數(shù).

又因?yàn)?/span>，可得，

有，

，

故存在唯一的使得.

所以當(dāng)時(shí)，，即；

當(dāng)時(shí)，，即，

所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)在區(qū)間存在唯一的極小值點(diǎn)，且

（2）①由，可得是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)；

②當(dāng)時(shí)，，，可得，此時(shí)函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)；

③當(dāng)時(shí)，由，

由（1）知，，可得函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，在無(wú)零點(diǎn)，

綜上，函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).