Question

設(shè)f（x）=ax²+bx+c，若6a+2b+c=0，f（1）f（3）＞0，
（1）若a=1，求f（2）的值
（2）求證：f（x）=0必有兩實(shí)數(shù)根x₁，x₂，且3＜x₁+x₂＜5．

Answer 1

考點(diǎn)：有理數(shù)指數(shù)冪的化簡(jiǎn)求值,函數(shù)的值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）a=1時(shí)，由6+2b+c=0，可得2b+c=-6．即可得出f（2）；
（2）6a+2b+c=0，可得b2=

(6a+c)2

4

．f（x）=0，證明△＞0即可，由6a+2b+c=0，可得c=-（6a+2b）．
利用f（1）f（3）＞0，可得（a+b+c）（9a+3b+c）＞0，化為(-

b

a

-3)(-

b

a

-5)＜0，即可．

解答： （1）解：a=1時(shí)，6+2b+c=0，∴2b+c=-6．
f（2）=2²+2b+c=4-6=-2．
（2）證明：∵6a+2b+c=0，∴b2=

(6a+c)2

4

．
f（x）=0，△=b²-4ac=

36a2-4ac+c2

4

=9(a-

c

18

)2+

8c2

9

＞0，
∴f（x）=0必有兩實(shí)數(shù)根x₁，x₂，
∵6a+2b+c=0，∴c=-（6a+2b）．
∵f（1）f（3）＞0，
∴（a+b+c）（9a+3b+c）＞0，
∴（a+b-6a-2b）（9a+3b-6a-2b）＞0，
化為(-

b

a

-3)(-

b

a

-5)＜0，
∴3＜-

b

a

＜5，
即3＜x₁+x₂＜5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、一元二次方程的實(shí)數(shù)根與判別式的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．