Question

已知函數(shù)f（x）=a•2^x+b•3^x，其中ab為非零常數(shù)．若ab＞0，判斷f（x）的單調(diào)性．若ab＜0，解關于x的不等式f（x+1）＞f（x）．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應用,不等式的解法及應用

分析：由ab＞0，討論若a＞0，b＞0，若a＜0，b＜0，則由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷f（x）的單調(diào)性；不等式
f（x+1）＞f（x），即為a•2^x+2b•3^x＞0，由ab＜0，討論若a＞0，b＜0，若a＜0，b＞0，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可得到解集．

解答： 解：由ab＞0，若a＞0，b＞0，則由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，
可得，2^x，3^x在R上單調(diào)調(diào)遞增，
即有f（x）=a•2^x+b•3^x在R上遞增；
若a＜0，b＜0，則有f（x）在R上遞減．
f（x+1）＞f（x），即有a•2^x+1+b•3^x+1＞a•2^x+b•3^x，
即為a•2^x+2b•3^x＞0，
由ab＜0，若a＞0，b＜0，則（

2

3

）^x＞-

2b

a

，
解得，x＜log

2

3

(-

2b

a

)；
若a＜0，b＞0，則（

3

2

）^x＞-

a

2b

，
解得，x＞log

3

2

(-

a

2b

)，
綜上，若a＞0，b＜0，
則不等式的解集為（-∞，log

2

3

(-

2b

a

)）；
若a＜0，b＞0，則不等式的解集為（log

3

2

(-

a

2b

)，+∞）．

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和運用，考查分類討論的思想方法，考查不等式的解法，考查運算能力，屬于中檔題．