Question

16．某突發(fā)事件，在不采取任何預(yù)防措施的情況下發(fā)生的概率為0.4，一旦發(fā)生，將造成500萬元的損失．　現(xiàn)有A，B兩種相互獨(dú)立的預(yù)防措施可以使用．單獨(dú)采用A預(yù)防措施所需的費(fèi)用為80萬元，采用A預(yù)防措施后此突發(fā)事件發(fā)生的概率降為0.1．單獨(dú)采用B預(yù)防措施所需的費(fèi)用為30萬元，采用B預(yù)防措施后此突發(fā)事件發(fā)生的概率降為0.2．現(xiàn)有以下4種方案；
方案1：不采取任何預(yù)防措施；
方案2：單獨(dú)采用A預(yù)防措施；
方案3：單獨(dú)采用B預(yù)防措施；
方案4：同時采用A，B兩種預(yù)防措施．
分別用X_i（i=1，2，3，4）（單位：萬元）表示采用方案i時產(chǎn)生的總費(fèi)用．　（總費(fèi)用=采取預(yù)防措施的費(fèi)用+發(fā)生突發(fā)事件的損失）
（1）求X₂的分布列與數(shù)學(xué)期望E（X₂）；
（2）請確定采用哪種方案使總費(fèi)用最少．

Answer 1

分析 （1）X₂的所有可能的取值是80，580，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X₂的分布列和E（X₂）．
（2）分別求出X₁，X₂，X₃，X₄的分布列和數(shù)學(xué)期望，經(jīng)比較在E（X₁），E（X₂），E（X₃），E（X₄）中E（X₄）最小，故為使總費(fèi)用最小采用方案4．

解答 解：（1）X₂的所有可能的取值是80，580，
P（X₂=80）=0.9，
P（X₂=580）=0.1，
X₂的分布列如下

X2	80	580
P	0.9	0.1

E（X₂）=80×0.9+580×0.1=130（萬元）…（4分）
（2）X₁的分布列如下

X1	0	500
P	0.6	0.4

E（X₁）=0×0.6+500×0.4=200（萬元）
X₃的分布列如下

X3	30	530
P	0.8	0.2

E（X₃）=30×0.8+530×0.2=130（萬元）．
X₄的所有可能的取值是110，610，
P（X₄=610）=0.1×0.2=0.02，
P（X₄=110）=1-0.02=0.98，
X₄的分布列如下

X4	110	610
P	0.98	0.02

E（X₄）=110×0.98+610×0.02=120（萬元）
經(jīng)比較在E（X₁），E（X₂），E（X₃），E（X₄）中E（X₄）最小，
故為使總費(fèi)用最小采用方案4…（12分）

點(diǎn)評 本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求不法及應(yīng)用，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，在歷年高考中都是必考題型之一．