Question

19．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知∠BAC=90°，AB=AC=1，BB₁=2，∠ABB₁=60°．
（1）證明：AB⊥B₁C；
（2）若B₁C=2，求二面角B₁-CC₁-A的余弦值．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)B₁A，由勾股定理的逆定理，得△ABB₁為直角三角形，B₁A⊥AB，再由CA⊥AB，得AB⊥平面AB₁C，由此能證明AB⊥B₁C．
（2）以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AC所在直線為y軸，AB₁所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz．利用向量法能求出二面角B₁-CC₁-A的余弦值．

解答 證明：（1）連結(jié)B₁A，在△ABB₁中，
∵$AB_1^2=A{B^2}+BB_1^2-2AB•B{B_1}•cos∠AB{B_1}=3$
∴$A{B_1}=\sqrt{3}$．
又AB=1，BB₁=2，
∴由勾股定理的逆定理，得△ABB₁為直角三角形．
∴B₁A⊥AB
∵CA⊥AB，B₁A⊥AB，CA∩B₁A=A，
∴AB⊥平面AB₁C．
∵B₁C?平面AB₁C，∴AB⊥B₁C．
解：（2）在△AB₁C中，∵${B_1}C=2，A{B_1}=\sqrt{3}$，AC=1，
則由勾股定理的逆定理，得△AB₁C為直角三角形，
∴B₁A⊥AC．
以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AC所在直線為y軸，AB₁所在直線為z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz．
A（0，0，0），C（0，1，0），C₁（-1，1，$\sqrt{3}$），B₁（0，0，$\sqrt{3}$），
則$\overrightarrow{AC}=（0，1，0）$，$\overrightarrow{A{C_1}}=（-1，1，\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{{B_1}C}=（0，1，-\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{C{C_1}}=（1，0，-\sqrt{3}）$．
設(shè)平面ACC₁的法向量為$\overrightarrow{n_1}=（{x_1}，{y_1}，{z_1}）$．
由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{n_1}=0\\ \overrightarrow{A{C_1}}•\overrightarrow{n_1}=0\end{array}\right.$$⇒\left\{\begin{array}{l}{y_1}=0\\-{x_1}+{y_1}+\sqrt{3}{z_1}=0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}{y_1}=0\\{x_1}=\sqrt{3}{z_1}\end{array}\right.$．
令z₁=1，則平面ACC₁的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n_1}=（\sqrt{3}，0，1）$．
設(shè)平面B₁CC₁的法向量為$\overrightarrow{n_2}=（{x_2}，{y_2}，{z_2}）$．
由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{{B_1}C}•\overrightarrow{n_2}=0\\ \overrightarrow{C{C_1}}•\overrightarrow{n_2}=0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}{y_2}-\sqrt{3}{z_2}=0\\{x_2}-\sqrt{3}{z_2}=0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}{y_2}=\sqrt{3}{z_2}\\{x_2}=\sqrt{3}{z_2}\end{array}\right.$．
令z₂=1，則平面B₁CC₁的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n_2}=（\sqrt{3}，\sqrt{3}，1）$．
設(shè)二面角B₁-CC₁-A的平面角為θ，θ為銳角．
∴$cosθ=\frac{{|{n_1}•{n_2}|}}{{|{n_1}|•|{n_2}|}}=\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$．
∴二面角B₁-CC₁-A的余弦值為$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．