Question

8．已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=3a_n+2，n∈N^*，a₁=2，b_n=a_n+1
（1）證明數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列．
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n與其前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用構(gòu)造法將函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，結(jié)合等比數(shù)列的定義進(jìn)行證明．
（2）根據(jù)b_n=a_n+1的關(guān)系即可求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式以及分組法進(jìn)行求解即可．

解答 證明：（1）∵a_n+1=3a_n+2，
∴1+a_n+1=3a_n+2+1=3（a_n+1），
∵a₁=2，b_n=a_n+1
∴b_n+1=3b_n，
即$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=3，則數(shù)列{b_n}是公比q=3的等比數(shù)列．
（2）∵數(shù)列{b_n}是公比q=3的等比數(shù)列，首項(xiàng)b₁=a₁+1=2+1=3，
則b_n=3•3^n-1=3ⁿ=a_n+1，
則a_n=3ⁿ-1．
則S_n=$\frac{3（3-{3}^{n}）}{1-3}$-n=$\frac{3}{2}$（3ⁿ-1）-n．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的計(jì)算，根據(jù)條件利用構(gòu)造法結(jié)合等比數(shù)列的定義是解決本題的關(guān)鍵．