Question

9．如圖，點A在⊙O上，過點O的割線PBC交⊙O于點B，C，且PA=4，PB=2，OB=3，∠APC的平分線分別交AB，AC于D，E．
（1）證明：∠ADE=∠AED；
（2）證明：AD•AE=BD•CE．

Answer 1

分析 （1）由弦切角定理得∠BAP=∠C，從而∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE，由此能證明∠ADE=∠AED．
（2）利用角平分線的性質(zhì)得到比值相等，即可證明結論．

解答 證明：（1）連接OA，
∵AP²+OA²=16+9=25=（OB+BP）²，
∴OA⊥AP，
∴PA為⊙O的切線，
∴∠PAB=∠C，
∵∠AEP=∠C+∠BPE，∠ADE=∠PAB+∠APE，
∵PE平分∠APC，
∴∠BPE=∠APE
∴∠ADE=∠AED；
（2）∵PE是∠APC的平分線，
∴$\frac{AD}{DB}$=$\frac{AP}{PB}$=$\frac{4}{2}$，$\frac{EC}{EA}=\frac{PC}{PA}$=$\frac{4}{2}$，
∴$\frac{AD}{DB}$=$\frac{EC}{EA}$，
∴AD•AE=BD•CE．

點評 本題考查兩角相等的證明，考查角平分線的性質(zhì)的運用，是中檔題，解題時要認真審題，注意弦切角定理、角平分線的性質(zhì)、圓的性質(zhì)等知識點的合理運用．