Question

14．若點(diǎn)P到定點(diǎn)F（4，0）的距離比它到直線x+5=0的距離小1，
（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）已知點(diǎn)A（2，4），為使|PA|+|PF|取得最小值，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及|PA|+|PF|的最小值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)P（x，y），利用點(diǎn)P到定點(diǎn)F（4，0）的距離比它到直線x+5=0的距離小1，列出方程求解即可．
（2）求出拋物線的準(zhǔn)線方程是x=-4．設(shè)P到準(zhǔn)線的距離為d，利用拋物線的定義，得到|PA|+|PF|=|PA|+d，使|PA|+|PF|最小，最小值是A點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離6，然后求解即可．

解答 解：（1）設(shè)P（x，y），則點(diǎn)P到定點(diǎn)F（4，0）的距離是$\sqrt{{{（x-4）}^2}+{y^2}}$，它到直線x+5=0的距離是|x+5|，
所以 $\sqrt{（x-4）^{2}+{y}^{2}}$=|x+5|-1   化簡(jiǎn)得，y²=16x，
  因此點(diǎn)P的軌跡方程是：y²=16x   …．（5分）
（2）由（1）得，拋物線的準(zhǔn)線方程是x=-4．
設(shè)P到準(zhǔn)線的距離為d，由拋物線的定義知，
|PA|+|PF|=|PA|+d   從A點(diǎn)向準(zhǔn)線作垂線交拋物線于P，
那么它使|PA|+|PF|最小，最小值是A點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離6
因此P點(diǎn)的縱坐標(biāo)是4，代入拋物線方程得它的橫坐標(biāo)是1
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)（1，4），|PA|+|PF|的最小值是6  …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查差的求法，直線與拋物線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．