Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若在處的切線與在處的切線平行，求實(shí)數(shù)的值；

（2）若，討論的單調(diào)性；

（3）在（2）的條件下，若，求證：函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，且．

Answer 1

【答案】(1) (2)見(jiàn)解析（3）見(jiàn)解析

【解析】分析：（1）先求一階導(dǎo)函數(shù)，，用點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線方程

（2）先求一階導(dǎo)函數(shù)的根，求解或的解集，判斷單調(diào)性。

（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，求出極值畫(huà)出函數(shù)的示意圖，分析函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)的等價(jià)條件是極小值大于零，函數(shù)在是減函數(shù)，故必然有一個(gè)零點(diǎn)。

詳解：（1）因?yàn)?/span>，所以；又。

由題意得，解得

（2），其定義域?yàn)?/span>，

又，令或。

①當(dāng)即時(shí)，函數(shù)與隨的變化情況如下：

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，。

所以函數(shù)在單調(diào)遞增，在和單調(diào)遞減

②當(dāng)即時(shí)，，

所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減

③當(dāng)即時(shí)，函數(shù)與隨的變化情況如下：

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，。

所以函數(shù)在單調(diào)遞增在和 上單調(diào)遞減

（3）證明：當(dāng)時(shí)，

由①知，的極小值為，極大值為.

因?yàn)?/span>

且又由函數(shù)在是減函數(shù)，可得至多有一個(gè)零點(diǎn)

又因?yàn)?/span>，

所以 函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)， 且.