Question

19．（1）當(dāng)x＞3時(shí)，求函數(shù)y=$\frac{2{x}^{2}}{x-3}$的最小值．
（2）若x²-2ax+2≥0在R上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令t=x-3（t＞0），用t表示函數(shù)y，再由基本不等式計(jì)算即可得到最小值；
（2）運(yùn)用二次函數(shù)的判別式小于等于0，解不等式即可得到所求a的范圍．

解答 解：（1）令t=x-3（t＞0），即x=t+3，
即有y=$\frac{2（t+3）^{2}}{t}$=2（t+$\frac{9}{t}$+6）≥2（2$\sqrt{t•\frac{9}{t}}$+6）=24，
當(dāng)且僅當(dāng)t=3，即x=6時(shí)，取得最小值24；
（2）x²-2ax+2≥0在R上恒成立，即為
△=4a²-8≤0，解得-$\sqrt{2}$≤a≤$\sqrt{2}$．
則實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值的求法：注意運(yùn)用換元法和基本不等式，考查函數(shù)恒成立問題的解法，注意運(yùn)用二次函數(shù)判別式小于等于0，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．