Question

9．已知函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，且定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞）．若x＜0時(shí)，f（x）=lg$\frac{1-x}{2}$．
（1）求f（x）的解析式；
（2）解關(guān)于x的不等式f（x）＞0．

Answer 1

分析 （1）設(shè)x＞0，則-x＜0，代入已知解析式得f（-x）的解析式，再利用奇函數(shù)的定義，求得函數(shù)f（x）（x＜0）的解析式，
（2）原不等式化為$\left\{\begin{array}{l}{-lg\frac{1+x}{2}＞0}\\{x＞0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{lg\frac{1-x}{2}＞0}\\{x＜0}\end{array}\right.$，根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)，解得即可．

解答 解：（1）設(shè)x＞0，則-x＜0，
∴f（-x）=lg$\frac{1+x}{2}$，
∵函數(shù)f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）=-f（-x）=-lg$\frac{1+x}{2}$，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-lg\frac{1+x}{2}，x＞0}\\{lg\frac{1-x}{2}，x＜0}\end{array}\right.$；
（2）f（x）＞0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-lg\frac{1+x}{2}＞0}\\{x＞0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{lg\frac{1-x}{2}＞0}\\{x＜0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1+x}{2}＜1}\\{x＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1-x}{2}＞1}\\{x＜0}\end{array}\right.$
解得0＜x＜1，或x＜-1，
故不等式的解集為（-∞，-1）∪（0，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱性求函數(shù)解析式的方法，以及不等式組的解法和對(duì)數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化化歸的思想方法，屬于中檔題．