19.在△ABC中,D是AB的中點(diǎn),AB=2,CD=$\sqrt{7}$.
(Ⅰ)若BC=$\sqrt{5}$,求AC的值;
(Ⅱ)若∠A=$\frac{π}{3}$,求△ABC的面積.

分析 (Ⅰ)在△BCD中,利用余弦定理求得cosB,然后在△ABC中,利用余弦定理來(lái)求AC的長(zhǎng)度;
(Ⅱ)在△ACD中,利用正弦定理求得$sin∠ACD=\frac{{\sqrt{21}}}{14}$,所以由同角三角函數(shù)關(guān)系得到$cos∠ACD=\frac{{5\sqrt{7}}}{14}$,結(jié)合余弦定理求得AC的長(zhǎng)度;最后由三角形面積公式進(jìn)行解答.

解答 解:因?yàn)樵凇鰽BC中,D是AB的中點(diǎn),AB=2,
所以AD=BD=1.
(Ⅰ)在△BCD中,由余弦定理知,cosB=$\frac{B{C}^{2}+B{D}^{2}-C{D}^{2}}{2BC•BD}$=$\frac{5+1-7}{2×\sqrt{5}×1}$
=-$\frac{\sqrt{5}}{10}$.
所以在△ABC中,由余弦定理知,AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cosB=4+5-2×2$\sqrt{5}$×(-$\frac{\sqrt{5}}{10}$)=11,
解得:AC=$\sqrt{11}$;
(Ⅱ)在△ACD中,∠A=$\frac{π}{3}$,AD=1,CD=$\sqrt{7}$,
由正弦定理得到:$\frac{CD}{sinA}$=$\frac{AD}{sin∠ACD}$,即$\frac{\sqrt{7}}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{1}{sin∠ACD}$,
所以$sin∠ACD=\frac{{\sqrt{21}}}{14}$,
因?yàn)?CD=\sqrt{7}>AD=1$,
所以$cos∠ACD=\frac{{5\sqrt{7}}}{14}$,
所以sin∠ADC=sin(∠ACD+∠A)=sin∠ACD•cosA+cos∠ACD•sinA=$\frac{\sqrt{21}}{14}$×$\frac{1}{2}$+$\frac{5\sqrt{7}}{14}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{21}}{14}$,即∠$sin∠ADC=\frac{{3\sqrt{21}}}{14}$,
所以$\frac{AC}{sin∠ADC}$=$\frac{CD}{sinA}$,即$\frac{AC}{\frac{3\sqrt{21}}{14}}$=$\frac{\sqrt{7}}{\frac{1}{2}}$,
解得AC=3$\sqrt{3}$
所以,S△ABC=$\frac{1}{2}$AC•AB•sinA=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{3}$×2×$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$,即${S_{△ACB}}=\frac{3}{2}\sqrt{3}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理和余弦定理,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

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