Question

3．若 x＞0，y＞0．且 x+y≤4，則下列不等式中恒成立的是（　�。�

• A． $\frac{1}{x+y}$≤$\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$≤1
• C． $\sqrt{xy}$≥2
• D． $\frac{1}{xy}$≥$\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 由 x＞0，y＞0．且 x+y≤4，利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行判斷．

解答 解：若 x＞0，y＞0．且 x+y≤4，則$\frac{1}{x+y}$≥$\frac{1}{4}$，故A錯(cuò)誤；
$\frac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}$≤$\frac{x+y}{2}$≤2，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=2時(shí)成立，則$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$≥1，故B錯(cuò)誤；
4≥x+y≥2$\sqrt{xy}$，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=2時(shí)取“=”，故$\sqrt{xy}$≤2，故C錯(cuò)誤；
$\sqrt{xy}$≤2，得：0＜xy≤4，即$\frac{1}{xy}$≥$\frac{1}{4}$，故D正確，
故答案選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式的性質(zhì)及應(yīng)用，熟練掌握基本不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．