【題目】教材曾有介紹:圓上的點(diǎn)處的切線方程為。我們將其結(jié)論推廣:橢圓上的點(diǎn)處的切線方程為,在解本題時(shí)可以直接應(yīng)用。已知,直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn).

(1)求的值;

(2)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),過橢圓上的兩點(diǎn)分別作該橢圓的兩條切線,且交于點(diǎn)。當(dāng)變化時(shí),求面積的最大值;

(3)在(2)的條件下,經(jīng)過點(diǎn)作直線與該橢圓交于、兩點(diǎn),在線段上存在點(diǎn),使成立,試問:點(diǎn)是否在直線上,請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)(2)(3)見解析

【解析】

(1)將直線y=x代入橢圓方程,得到x的方程,由直線和橢圓相切的條件:判別式為0,解方程可得a的值;(2)設(shè)切點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),可得切線,,,再將M代入上式,結(jié)合兩點(diǎn)確定一條直線,可得切點(diǎn)弦方程,AB的方程為x+my=1,將直線與橢圓方程聯(lián)立,運(yùn)用韋達(dá)定理,求得△OAB的面積,化簡整理,運(yùn)用基本不等式即可得到所求最大值;(3)點(diǎn)在直線上,因?yàn)?/span>

設(shè)、,且,于是,向量坐標(biāo)化,得,將代入橢圓方程,結(jié)合、在橢圓上,整理化簡得,即在直線上.

(1)聯(lián)立,整理得

依題意,即

(2)設(shè)、,于是直線、的方程分別為、

代入、的方程得

所以直線的方程為

聯(lián)立

顯然,由是該方程的兩個(gè)實(shí)根,有,

面積

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),“=”成立,取得最大值

(3)點(diǎn)在直線上,因?yàn)?/span>

設(shè)、、,且

于是,即、、

,

,即在直線上.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比為,動(dòng)點(diǎn)的軌跡記為.

1)求軌跡的方程;

2)若點(diǎn)在軌跡上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng),且總有

的取值范圍;

3)過點(diǎn)的動(dòng)直線交軌跡兩點(diǎn),試問:在此坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn),使得無論如何轉(zhuǎn)動(dòng),以為直徑的圓恒過點(diǎn)?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo).若不存在,請(qǐng)說明理由.

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【題目】某公交公司為了方便市民出行,科學(xué)規(guī)劃車輛投放,在一個(gè)人員密集流動(dòng)地段增設(shè)一個(gè)起點(diǎn)站,為了研究車輛發(fā)車間隔時(shí)間x與乘客等候人數(shù)y之間的關(guān)系,經(jīng)過調(diào)查得到如下數(shù)據(jù):

間隔時(shí)間x/

10

11

12

13

14

15

等候人數(shù)y/

23

25

26

29

28

31

調(diào)查小組先從這6組數(shù)據(jù)中選取4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再用剩下的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).檢驗(yàn)方法如下:先用求得的線性回歸方程計(jì)算間隔時(shí)間對(duì)應(yīng)的等候人數(shù),再求與實(shí)際等候人數(shù)y的差,若差值的絕對(duì)值都不超過1,則稱所求方程是“恰當(dāng)回歸方程”.

1)從這6組數(shù)據(jù)中隨機(jī)選取4組數(shù)據(jù),求剩下的2組數(shù)據(jù)的間隔時(shí)間相鄰的概率;

2)若選取的是中間4組數(shù)據(jù),求y關(guān)于x的線性回歸方程,并判斷此方程是否是“恰當(dāng)回歸方程”.

附:對(duì)于一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為:.

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【題目】橢圓的離心率為,短軸端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)圍成的三角形面積為.

(1)求橢圓的方程;

(2)設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn),且過點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),當(dāng)△為直角三角形,求直線的斜率.

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【題目】如圖,四棱錐的底面是菱形,底面分別是的中點(diǎn),,.

I)證明:

II)求直線與平面所成角的正弦值;

III)在邊上是否存在點(diǎn),使所成角的余弦值為,若存在,確定點(diǎn)位置;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖1,菱形中,, .將沿翻折到,使,如圖2

)求證:平面平面;

)求直線AE與平面ABC所成角的正弦值;

)設(shè)為線段上一點(diǎn),若平面,求的值.

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【題目】某商場營銷人員進(jìn)行某商品的市場營銷調(diào)查時(shí)發(fā)現(xiàn),每回饋消費(fèi)者一定的點(diǎn)數(shù),該商品每天的銷量就會(huì)發(fā)生一定的變化,經(jīng)過試點(diǎn)統(tǒng)計(jì)得到以下表:

反饋點(diǎn)數(shù)t

1

2

3

4

5

銷量(百件)/天

0.5

0.6

1

1.4

1.7

(Ⅰ)經(jīng)分析發(fā)現(xiàn),可用線性回歸模型擬合當(dāng)?shù)卦撋唐蜂N量(千件)與返還點(diǎn)數(shù)之間的相關(guān)關(guān)系.試預(yù)測若返回6個(gè)點(diǎn)時(shí)該商品每天的銷量;

(Ⅱ)若節(jié)日期間營銷部對(duì)商品進(jìn)行新一輪調(diào)整.已知某地?cái)M購買該商品的消費(fèi)群體十分龐大,經(jīng)營銷調(diào)研機(jī)構(gòu)對(duì)其中的200名消費(fèi)者的返點(diǎn)數(shù)額的心理預(yù)期值進(jìn)行了一個(gè)抽樣調(diào)查,得到如下一份頻數(shù)表:

返還點(diǎn)數(shù)預(yù)期值區(qū)間

(百分比)

[1,3)

[3,5)

[5,7)

[7,9)

[9,11)

[11,13)

頻數(shù)

20

60

60

30

20

10

(1)求這200位擬購買該商品的消費(fèi)者對(duì)返點(diǎn)點(diǎn)數(shù)的心理預(yù)期值的樣本平均數(shù)及中位數(shù)的估計(jì)值(同一區(qū)間的預(yù)期值可用該區(qū)間的中點(diǎn)值代替;估計(jì)值精確到0.1);

(2)將對(duì)返點(diǎn)點(diǎn)數(shù)的心理預(yù)期值在的消費(fèi)者分別定義為“欲望緊縮型”消費(fèi)者和“欲望膨脹型”消費(fèi)者,現(xiàn)采用分層抽樣的方法從位于這兩個(gè)區(qū)間的30名消費(fèi)者中隨機(jī)抽取6名,再從這6人中隨機(jī)抽取3名進(jìn)行跟蹤調(diào)查,設(shè)抽出的3人中 “欲望緊縮型”消費(fèi)者的人數(shù)為隨機(jī)變量,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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【題目】已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足,記M的軌跡為曲線C,直線l)交曲線CP,Q兩點(diǎn),點(diǎn)P在第一象限,軸,垂足為E,連接QE并延長交曲線C于點(diǎn)G.

(1)求曲線C的方程,并說明曲線C是什么曲線;

(2)若,求的面積.

(3)求面積的最大值.

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【題目】在△ABC中,內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,且sinAsinBcosBsin2BcosA=2 sinCcosB.

(1)求tanB的值;

(2)若△ABC的外接圓半徑為R,求的值.

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