【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比為,動(dòng)點(diǎn)的軌跡記為.
(1)求軌跡的方程;
(2)若點(diǎn)在軌跡上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng),且總有,
求的取值范圍;
(3)過點(diǎn)的動(dòng)直線交軌跡于兩點(diǎn),試問:在此坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn),使得無論如何轉(zhuǎn)動(dòng),以為直徑的圓恒過點(diǎn)?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo).若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)(2)(3)存在,理由見解析
【解析】
(1)設(shè)點(diǎn),由化簡求解;(2)圓心.根據(jù)圓與橢圓的位置關(guān)系,分兩種情況討論:①當(dāng)時(shí),②當(dāng)時(shí),設(shè),分別利用三角代換求得其最值,即可得到取值范圍;(3)把代入橢圓的方程可得:,取點(diǎn)時(shí)滿足.然后證明:在此坐標(biāo)平面上存在一個(gè)定點(diǎn),使得無論如何轉(zhuǎn)動(dòng),以為直徑的圓恒過點(diǎn)即可.
(1)設(shè)點(diǎn),由題意可得:,
即:.
(2)圓心
:①當(dāng)時(shí),∵總有,
∴
.②當(dāng)時(shí),設(shè),總有,
所以
,
∴.
綜上可得:的取值范圍是∪.
(3)把代入橢圓的方程可得:,
解得.,所以,,取點(diǎn)時(shí)滿足.
下面證明:存在一個(gè)定點(diǎn),使得無論如何轉(zhuǎn)動(dòng),以為直徑的圓恒過點(diǎn).
設(shè)過點(diǎn)的動(dòng)直線的方程為:,.
聯(lián)立,化為:,
∴,.
則
∴在此坐標(biāo)平面上存在一個(gè)定點(diǎn),使得無論如何轉(zhuǎn)動(dòng),以為直徑的圓恒過點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知雙曲線的焦點(diǎn),漸近線方程為,直線過點(diǎn)且與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn).
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知三棱柱的底面是等邊三角形,側(cè)面底面,是棱的中點(diǎn).
(1)求證:平面平面;
(2)求平面將該三棱柱分成上下兩部分的體積比.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了進(jìn)一步推動(dòng)全市學(xué)習(xí)型黨組織、學(xué)習(xí)型社會(huì)建設(shè),某市組織開展“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”知識(shí)測試,每人測試文化、經(jīng)濟(jì)兩個(gè)項(xiàng)目,每個(gè)項(xiàng)目滿分均為60分.從全體測試人員中隨機(jī)抽取了100人,分別統(tǒng)計(jì)他們文化、經(jīng)濟(jì)兩個(gè)項(xiàng)目的測試成績,得到文化項(xiàng)目測試成績的頻數(shù)分布表和經(jīng)濟(jì)項(xiàng)目測試成績的頻率分布直方圖如下:
經(jīng)濟(jì)項(xiàng)目測試成績頻率分布直方圖
分?jǐn)?shù)區(qū)間 | 頻數(shù) |
2 | |
3 | |
5 | |
15 | |
40 | |
35 |
文化項(xiàng)目測試成績頻數(shù)分布表
將測試人員的成績劃分為三個(gè)等級(jí)如下:分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)為一般,分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)為良好,分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)為優(yōu)秀.
(1)在抽取的100人中,經(jīng)濟(jì)項(xiàng)目等級(jí)為優(yōu)秀的測試人員中女生有14人,經(jīng)濟(jì)項(xiàng)目等級(jí)為一般或良好的測試人員中女生有34人.填寫下面列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有以上的把握認(rèn)為“經(jīng)濟(jì)項(xiàng)目等級(jí)為優(yōu)秀”與性別有關(guān)?
優(yōu)秀 | 一般或良好 | 合計(jì) | |
男生數(shù) | |||
女生數(shù) | |||
合計(jì) |
(2)用這100人的樣本估計(jì)總體.
(i)求該市文化項(xiàng)目測試成績中位數(shù)的估計(jì)值.
(ii)對(duì)該市文化項(xiàng)目、經(jīng)濟(jì)項(xiàng)目的學(xué)習(xí)成績進(jìn)行評(píng)價(jià).
附:
0.150 | 0.050 | 0.010 | |
2.072 | 3.841 | 6.635 |
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,平面,, ,,,,為側(cè)棱上一點(diǎn).
(Ⅰ)若,求證:平面;
(Ⅱ)求證:平面平面;
(Ⅲ)在側(cè)棱上是否存在點(diǎn),使得平面?若存在,求出線段的長;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對(duì)于項(xiàng)數(shù)為()的有窮正整數(shù)數(shù)列,記(),即為中的最大值,稱數(shù)列為數(shù)列的“創(chuàng)新數(shù)列”.比如的“創(chuàng)新數(shù)列”為.
(1)若數(shù)列的“創(chuàng)新數(shù)列”為1,2,3,4,4,寫出所有可能的數(shù)列;
(2)設(shè)數(shù)列為數(shù)列的“創(chuàng)新數(shù)列”,滿足(),求證: ();
(3)設(shè)數(shù)列為數(shù)列的“創(chuàng)新數(shù)列”,數(shù)列中的項(xiàng)互不相等且所有項(xiàng)的和等于所有項(xiàng)的積,求出所有的數(shù)列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
已知曲線的極坐標(biāo)方程為,以極點(diǎn)為直角坐標(biāo)原點(diǎn),以極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,將曲線向左平移個(gè)單位長度,再將得到的曲線上的每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的,縱坐標(biāo)保持不變,得到曲線
(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)已知直線的參數(shù)方程為,(為參數(shù)),點(diǎn)為曲線上的動(dòng)點(diǎn),求點(diǎn)到直線距離的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,某海面上有、、三個(gè)小島(面積大小忽略不計(jì)),島在島的北偏東方向距島千米處,島在島的正東方向距島20千米處.以為坐標(biāo)原點(diǎn),的正東方向?yàn)?/span>軸的正方向,1千米為單位長度,建立平面直角坐標(biāo)系.圓經(jīng)過、、三點(diǎn).
(1)求圓的方程;
(2)若圓區(qū)域內(nèi)有未知暗礁,現(xiàn)有一船D在島的南偏西30°方向距島40千米處,正沿著北偏東行駛,若不改變方向,試問該船有沒有觸礁的危險(xiǎn)?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】教材曾有介紹:圓上的點(diǎn)處的切線方程為。我們將其結(jié)論推廣:橢圓上的點(diǎn)處的切線方程為,在解本題時(shí)可以直接應(yīng)用。已知,直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn).
(1)求的值;
(2)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),過橢圓上的兩點(diǎn)、分別作該橢圓的兩條切線、,且與交于點(diǎn)。當(dāng)變化時(shí),求面積的最大值;
(3)在(2)的條件下,經(jīng)過點(diǎn)作直線與該橢圓交于、兩點(diǎn),在線段上存在點(diǎn),使成立,試問:點(diǎn)是否在直線上,請(qǐng)說明理由.
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